Confronto integrale serie

[gugione]

ciao a tutti,

sto correggendo un esercizio d'esame:

"tramite il confronto integrale, determinare il comportamento asintotico di $a_n = \sum_{k=n}^(3n) 1/k$"

Io l'ho svolto cosi:
Ho studiato innanzitutto la funzione $f(x) = 1/x$ verificando che decresce.
Questo mi permette di dire che $\int_k^(k+1)f(x)dx <= f(x) <= \int_(k-1)^k f(x)dx$
Adatto gli estremi di integrazione: $\int_n^(3n+1)1/x dx <= 1/x <= \int_(n-1)^(3n) 1/x dx$
e integro ora le varie parti, sapendo che $\int 1/x dx = ln(x)$
A sinistra ho: $ln(3n + 1) - ln(n) = ln((3n + 1)/n)$
A destra: $ln(3n) - ln(n-1) = ln((3n)/(n-1))$
Quindi: $ ln((3n + 1)/n) <= S_n <= ln((3n)/(n-1))$
Ma quindi posso dedurre che $S_n$ sia asintotico a $ln(3)$? Oppure ho detto una cavolata?
Grazie per chiunque mi aiuterà con una spiegazione (mi serve per l'orale di analisi)

[Scotti1]

Ciao Gugione
Benissimo, hai sfruttato il criterio dell'integrale per una serie con una funzione positiva continua e decrescente per cui vale:

$u_(k+1) <= int_(k)^(k+1) f(x) dx <= u_k $

Da cui il tuo risultato.

Bye

[gugione]

Fantastico, grazie per la conferma