Confronto divergenza di [tex]5^{(n+1)!}[/tex] e [tex]n!3^{(n+1)!}[/tex]

[koloko]

Facendo esercizi sui limiti di successioni, mi sono imbattuto in un dilemma:
come fa [tex]5^{(n+1)!}[/tex] a divergere ad infinito più velocemente di [tex]n!3^{(n+1)!}[/tex] ?
Ho provato a mano a svolgere il calcolo applicando varie proprietà dei logaritmi, ma niente. Inoltre tutti i software che ho utilizzato non riescono a darmi una risposta passo passo.

[Frink1]

Forse sbaglio, ma procederei così:

$lim_(n->+oo) (5^((n+1)!))/(n!*3^((n+1)!))=lim_(n->+oo) (5^((n+1)!))/(3^((n+1)!))=lim_(n->+oo) (5/3)^((n+1)!)=+oo$

In questa trasformazione trascuro il termine $n!$ al denominatore perché è chiaramente più lento di $a^(n!)$ per qualunque $a>1$.

[koloko]

Scusate, non avevo fatto caso che successivamente, il libro si pone lo stesso quesito, ed infatti:

tuttavia mi sfugge il procedimento che porta ad avere $5/3$ al denominatore

[Frink1]

$ ((n!)*3^((n+1)!))/5^((n+1)!)=((n+1)!)/(n+1)*(3/5)^((n+1)!)=((n+1)!)/(n+1)*1/(5/3)^((n+1)!) $

Non mi pare poi molto meglio del passaggio che ho fatto io, semmai do qualcosa di più per scontato...

[koloko]

"Frink":$ ((n!)*3^((n+1)!))/5^((n+1)!)=((n+1)!)/(n+1)*(3/5)^((n+1)!)=((n+1)!)/(n+1)*1/(5/3)^((n+1)!) $

Non mi pare poi molto meglio del passaggio che ho fatto io, semmai do qualcosa di più per scontato...

Non mi torna il passaggio che fa diventare $n!$ il pezzo [tex]\frac{(n+1)!}{n+1}[/tex]

[Frink1]

Sai come è definito il fattoriale?

[koloko]

"Frink":Sai come è definito il fattoriale?

$(n!)=n(n-1)!$

[Frink1]

Appunto. $(n+1)! =...$