Confronto asintotico serie

[tommyr22-votailprof]

salve a tutti.
Oggi ho trovato un esercizio che mi chiede di trovarmi il carattere di questa serie:
$(arctang((n+1)/(n^2+4)))^2$
allora utilizzando il criterio del confronto asintotico conosco che $arctang(n+1/n^2+4)=n+1/n^2+4+o(n+1/n^2+4)=1/n^2+o(1/n^2)$
quindi so che l'argomento dell'arcotangente è asintotico alla serie armonica generalizzata.
adesso però siccome è tutto al quadrato, moltiplicando vengono questi risultati:
$(arctang...)^2=1/n^2+2(1/n)o(1/n)+o(1/n^2)$
quì però ho un dubbio.Infatti nella soluzione il passo successivo è questo $1/n^2+o(1/n^2)$
perchè ha praticamente eliminato $2(1/n)o(1/n)$ ? perchè è un infinitesimo + piccolo?

stesso problema cè in un altra serie, in cui ho il prodotto di $(-(-1)^n/n+o(1/n))(1/n+o(1/n))=-(-1)^n/n^2+o(1/n^2)$
come ha fatto questo prodotto ?
grazie!

[cirasa]

Ma la serie è questa?
[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(\textrm{arctg}(n+\frac{1}{n^2}+4))^2[/tex]

Prova a stabilire innanzitutto se il termine generale della serie è infinitesimo.

[tommyr22-votailprof]

scusami non avevo visto l'errore..adesso è corretta..

[robbstark1]

Intanto provo a ricostruire i primi passaggi:
$arctang((n+1)/(n^2 +4))^2 sim (1/n +o(1/n) )^2 = 1/(n^2) + 2/n o(1/n) +(o(1/n))^2$

Ora:

$((1/n)o(1/n))/(1/(n^2)) = (o(1/n))/(1/n) ->0$ per $n->+infty$. Per cui $(1/n)o(1/n) = o(1/(n^2))$

$((o(1/n))^2)/(1/n^2) = (o(1/n))/(1/n) * (o(1/n))/(1/n) -> 0$ per $n->+infty$. Per cui $(o(1/n))^2 = o(1/(n^2))$

Inoltre ovviamente ha applicato le altre proprietà degli o-piccoli:
$o(x)+o(x)=o(x)$ e $m*o(x)=o(x)$

Per la seconda serie il discorso è simile o uguale.