Confronto asintotico integrali improprî.

[StellaMartensitica]

Il teorema dice:

Date $f,g:[b,+infty)->RR$ ; $f,g$ Riemann-integrabili in $[b, b+M)$ con $M>0$ e definitivamente positive tali che $f(x)$ è equivalente a $g(x)$ per $x->+infty$, allora

$int_b^(+infty)f(x) dx$ è convergente se e solo se $int_b^(+infty)g(x) dx$ è convergente.

Ho capito come si applica il teorema negli esercizi ma
perché $f(x)$ e $g(x)$ devono essere entrambe positive? Dipende da come si fa la dimostrazione del teorema?

[anto_zoolander]

Perchè se una funzione è positiva l'integrale è una funzione monotona e quindi può solo divergere o convergere.
Nel caso in cui $intg$ diverge la puoi mettere sotto $intf$ e farlo diverge, ma nel caso in cui $intg$ converge hai una cosa del tipo

$0
considerando che $intg$ converge in maniera monotona crescente e quindi converge al sup.
Questo ti dice che la funzione integrale di $f$ è limitata e ti serve una condizione su $f$ affinché tu possa escludere che il limite della funzione integrale sia indeterminato. La positività di $f$ ti garantisce che la funzione integrale sarà monotona e limitata e quindi converge.

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[StellaMartensitica]

Grazie mille per la risposta.
Quindi se la funzione è positiva, la funzione integrale è monotona e quindi non può essere un integrale oscillante.
Ma se la funzione fosse negativa, per esempio,

fissati $M_1$ ed $M_2$ con

$0 $f(x)<=0$

$int_(b)^(M_2)f(x)dx -int_(b)^(M_1) f(x)dx=-int_(M_2)^bf(x)dx-int_(b)^(M_1)f(x)dx=-int_(M_2)^(M_1)f(x)dx=int_(M_2)^(M_1)[-f(x)]dx$
Essendo un integrale su un intervallo regressivo di una funzione positiva ($[ -f(x) ]$, opposto di $f(x)$) allora è negativo, da cui:
$int_(b)^(M_2)f(x)dx<=int_(b)^(M_1) f(x)dx$
Quindi anche se f(x) fosse negativa la funzione integrale sarebbe monotona (decrescente in questo caso), e quindi l'integrale non potrebbe essere oscillante giusto? Quindi $f(x)$ potrebbe essere negativa, ma allora anche $g(x)$ dovrebbe esserlo per poter utilizzare il teorema?

[anto_zoolander]

Certo! infatti se $f$ è negativa allora $-f$ è positiva e $int(-f)$ convergerebbe nelle ipotesi di sopra, quindi anche $-int(-f)=intf$

chiaramente se $f$ è negativa potresti trovare una funzione $g$ positiva tale che $-f$ è asintotica a $g$ oppure una funzione $g$ negativa tale che $f$ è asintotica a $g$

nel primo caso si usa il teorema precedente come ho scritto sopra
nel secondo caso basta vedere che se $f$ è asintotica a $g$ allora $-f$ è asintotica a $-g$ e usi il teorema di prima

[StellaMartensitica]

Ottimo. Grazie ancora