Confronto asintotico integrali
Volendo capire quale sia il comportamento di questa funzione in $\infty$
$\int_4^\infty arctan(x)/(xsqrt(x))dx$
applico il criterio del confronto asintotico utilizzando $1/(xsqrt(x))$
$\lim_{x \to \infty}(arctan(x)/(xsqrt(x)))/(1/(xsqrt(x)))=pi/2$ pertanto converge.
Non capisco però perché se prendo ad esempio un'altra funzione convergente, per esempio $1/(x^3)$ invece il risultato del limite è $\infty$, non dovrebbe uscir fuori un valore diverso da infinito e zero? Dico questo perché se $f(x)$ converge in $\infty$ e lo confronto con qualcosa che converge mi aspetterei un valore reale , corretto?
$\int_4^\infty arctan(x)/(xsqrt(x))dx$
applico il criterio del confronto asintotico utilizzando $1/(xsqrt(x))$
$\lim_{x \to \infty}(arctan(x)/(xsqrt(x)))/(1/(xsqrt(x)))=pi/2$ pertanto converge.
Non capisco però perché se prendo ad esempio un'altra funzione convergente, per esempio $1/(x^3)$ invece il risultato del limite è $\infty$, non dovrebbe uscir fuori un valore diverso da infinito e zero? Dico questo perché se $f(x)$ converge in $\infty$ e lo confronto con qualcosa che converge mi aspetterei un valore reale , corretto?
Risposte
Se confronti due funzioni che sono infinitesime per $x \to + \infty$ (o $x \to x_0$) ti ritrovi un limite che si presenta nella forma indeterminata $0/0$. Il risultato del limite dipende dal modo di andare a zero delle due funzioni.
Quindi in sostanza, detto volgarmente, affinché abbia un valore reale come risultato del limite devono andare a zero nello stesso modo, giusto?
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