Confronto Asintotico & alcune serie
ciao,
vi volevo fare alcune domande sul confronto asintotico che si usa per studiare il carattere delle serie. Come al solito sul mio libro non è riportato [:(], cmq vi volevi chiedere se quello che ho capito è corretto.
Allora, ammettiamo che voglia studiare questa serie:
dato che sinn/n è un limite notevole, posso dire che la serie si comporta come la serie 1/n e che quindi converge per n -> +inf ?
Come anche se voglio studiare questa:
posso dire che si comporta come n^2 dato che ( 1 - conn ) / n^2
è un limite notevole ?
mi sembra un pò strana come cosa, ma un mio amico mi ha detto che si fa così... è giusto il ragionamento ?
Dato che ci sono, come calcolereste queste due serie?
Che criterio potrei usare per studiarle ? forse per la seconda andrebbe bene il criterio della radice, ma per la prima che mi dite ?
il criterio asintotico andrebbe bene ? ( anche se bisognerebbe capire come è che bisogna applicarlo, cioè se è come ho scritto io sopra... o meno... ).
Grazie!
vi volevo fare alcune domande sul confronto asintotico che si usa per studiare il carattere delle serie. Come al solito sul mio libro non è riportato [:(], cmq vi volevi chiedere se quello che ho capito è corretto.
Allora, ammettiamo che voglia studiare questa serie:
dato che sinn/n è un limite notevole, posso dire che la serie si comporta come la serie 1/n e che quindi converge per n -> +inf ?
Come anche se voglio studiare questa:
posso dire che si comporta come n^2 dato che ( 1 - conn ) / n^2
è un limite notevole ?
mi sembra un pò strana come cosa, ma un mio amico mi ha detto che si fa così... è giusto il ragionamento ?
Dato che ci sono, come calcolereste queste due serie?
Che criterio potrei usare per studiarle ? forse per la seconda andrebbe bene il criterio della radice, ma per la prima che mi dite ?
il criterio asintotico andrebbe bene ? ( anche se bisognerebbe capire come è che bisogna applicarlo, cioè se è come ho scritto io sopra... o meno... ).
Grazie!
Risposte
Attenzione ai limiti notevoli.
Il criterio asintotico dice che avendo due successioni (a,b)
se esiste positivo e finito il limite per n-->+inf di (a)/(b)
allora
le due serie hanno lo stesso carattere.
I limiti notevoli che dici sono
lim x-->0 sen(x)/x
e
lim x-->0 (1 - cos(x))/x
e non
lim x-->+inf sen(x)/x
o
lim x-->+inf (1 - cos(x))/x
Almeno così mi ricordo.
Il criterio asintotico dice che avendo due successioni (a,b)
se esiste positivo e finito il limite per n-->+inf di (a)/(b)
allora
le due serie hanno lo stesso carattere.
I limiti notevoli che dici sono
lim x-->0 sen(x)/x
e
lim x-->0 (1 - cos(x))/x
e non
lim x-->+inf sen(x)/x
o
lim x-->+inf (1 - cos(x))/x
Almeno così mi ricordo.
si infatti è come dici te, valgono con x -> 0...
Quindi come funziona la cosa ?
Quindi come funziona la cosa ?
La cosa non funziona come l'hai scritta, poiche', come giustamente dice dazuco, senx/x non e' asintotico ad 1 per x che tende a +infinito, bensi' per x che tende a 0, che non ci serve a nulla in questo caso. Per la prima serie basta che osservi che sen n <1: allora hai stimato dall'alto con una serie convergente.
Luca.
Luca.
mm capito, in effetti era troppo assurda la cosa come l'avevo detta io 
Qualcuno mi spiega in genere come mi devo comportare con queste serie ? e come si risolvono le due che ho postato ?
tnx a tutti!!!
Qualcuno mi spiega in genere come mi devo comportare con queste serie ? e come si risolvono le due che ho postato ?
tnx a tutti!!!
nessun aiuto per quelle due serie ?
La serie di termine generale 1-cos(n) non converge, in quanto il termine generale non e' infinitesimo.
Per la terza serie postata, tieno conto che arctan tende a \pi/2, per cui il numeratore non conta. Il denominatore e' asintotico a e^(n/2), che fornisce notoriamente una serie convergente (la puoi maggiorare con tutte le serie del tipo 1/n^a con a>1).
Quanto all'ultima, n^(1/n)-1 e' asintotico a log(n)/n: infatti n^(1/n)-1=e^(log(n)/n)-1. Ora log(n)/n e' il termine generale di una serie notoriamente divergente.
Luca.
Per la terza serie postata, tieno conto che arctan tende a \pi/2, per cui il numeratore non conta. Il denominatore e' asintotico a e^(n/2), che fornisce notoriamente una serie convergente (la puoi maggiorare con tutte le serie del tipo 1/n^a con a>1).
Quanto all'ultima, n^(1/n)-1 e' asintotico a log(n)/n: infatti n^(1/n)-1=e^(log(n)/n)-1. Ora log(n)/n e' il termine generale di una serie notoriamente divergente.
Luca.
ok grazie Luca!
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