Conferma su estremo sup e sup limitata
Salve a tutti vorrei una conferma sulla definizione di estremo superiore di una funzione e una funzione superiormente limitata. Per quanto riguarda il primo basta applicare la definizione di estremo superiore sull'insieme del codominio quindi è il più piccolo dei magioranti, mentre superiormente limitata se non può andare oltre un certo limite..però a me queste due cose sembrano molto simili. La differenza sta nel fatto che una funzione può essere superiormente limitata, ma non c'è l'estremo superiore? (come per esempio considerando un asintoto obliquo.
Sbaglio se dico che l'estremo superiore è un vero e proprio valore numerico della funzione mentre una funzione può essere superiormente limitata cioè non deve superare un valore ma questo valore può anche non raggiungerlo mai? Aiutatemi a chiarire le idee please..
Sbaglio se dico che l'estremo superiore è un vero e proprio valore numerico della funzione mentre una funzione può essere superiormente limitata cioè non deve superare un valore ma questo valore può anche non raggiungerlo mai? Aiutatemi a chiarire le idee please..
Risposte
scusate ragazzi riscrivo perchè sono passati 9 giorni e non mi sembra il caso di riaprire un post sullo stesso argomento, non potreste darmi una mano?
Ciao. Mi sembra che tu faccia confusione tra due cose: l'estremo superiore (se è finito) è un numero, il più piccolo dei maggioranti di un insieme va bene come definizione, ma una possibilità di estremo superiore è anche $+infty$; invece l'essere superiormente limitata è una caratteristica (eventuale) di una funzione: se il suo codominio ha estremo superiore finito, allora diciamo che la funzione è superiormente limitata. L'esempio dell'asintoto obliquo è fuori luogo: se una funzione ammette asintoto obliquo crescente, allora tende a $+infty$, quindi non è superiormente limitata.
Un esempio banale: la funzione seno è superiormente limitata, e l'estremo superiore del suo codominio è $1$.
Un esempio banale: la funzione seno è superiormente limitata, e l'estremo superiore del suo codominio è $1$.
Se si ammette $+oo$ come estremo superiore degli insiemi non limitati, un sottoinsieme di $RR$ ha sempre un estremo superiore. Non è detto che l'estremo superiore appartenga all'insieme, nemmeno quando è minore di infinito (guardati le definizioni).
L'estremo superiore di una funzione è per definizione l'estremo superiore dell'immagine della funzione (attenzione, non il codominio, che può essere più grande) e una funzione si dice superiormente limitata se il suo estremo superiore è finito. Va da sé che non per forza la funzione assume in quelche punto il valore del suo estremo superiore, ma quando ciò accade si può parlare di massimo.
L'estremo superiore di una funzione è per definizione l'estremo superiore dell'immagine della funzione (attenzione, non il codominio, che può essere più grande) e una funzione si dice superiormente limitata se il suo estremo superiore è finito. Va da sé che non per forza la funzione assume in quelche punto il valore del suo estremo superiore, ma quando ciò accade si può parlare di massimo.
si mi sono sbagliato a scrivere volevo dire asintoto orizzontale. Grazie per le risposte ma il mi dubbio è questo: se io ho un asintoto orizzontale in 2 ( che non interseca mai) per esempio, la funzione se parte da sotto si avvicina sempre di più a due e quell'asintoto la rende superiormente limitata no? in quel caso l'estremo superiore quale è? è giusto dire che è 2 ma non appartendendo al all'immagine della funzione non è il massimo? Il massimo non esiste..
"yellow":
immagine della funzione (attenzione, non il codominio, che può essere più grande)
La questione verteva sulla definizione di "funzione superiormente limitata", non "superiormente limitata su un intervallo".
Mi pare di ricordare che la prima corrisponda a limitatezza superiore su tutto il codominio, mi sto sbagliando?
Mah, ovviamente dipende dalle definizioni. Io "codominio" non lo uso mai perché è ambiguo, ma se proprio devo dargli un senso intendo "l'insieme di arrivo", che di solito è per semplicità $RR$ intero.
potete rispondere alla mie domande anche please? grazies
"Domodossola":
si mi sono sbagliato a scrivere volevo dire asintoto orizzontale. Grazie per le risposte ma il mi dubbio è questo: se io ho un asintoto orizzontale in 2 ( che non interseca mai) per esempio, la funzione se parte da sotto si avvicina sempre di più a due e quell'asintoto la rende superiormente limitata no? in quel caso l'estremo superiore quale è? è giusto dire che è 2 ma non appartendendo al all'immagine della funzione non è il massimo? Il massimo non esiste..
E' giusto.
grazie 
Ovviamente stiamo sottointrndendo che la funzione sia continua, altrimenti il suo grafico può superare l'asintoto anche senza intersecarlo.
Meglio dire a questo punto che la $f(x)<=2$ oer ogni $x$ nel dominio, così non serve che sia continua.
Meglio dire a questo punto che la $f(x)<=2$ oer ogni $x$ nel dominio, così non serve che sia continua.
si si certo.. grazie ancora
grazie ancora
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