Conferma su convergenza integrale
Ciao a tutti; io ho svolto tutto l'esercizio che vi propongo ma non sono certo della sua correttezza... qualcuno può gentilmente dirmi se e dove ho sbagliato? grazie mille...
Devo stabilire per quali valori di $a$ e $b$ l'integrale converge:
$ int_(0)^(+oo ) (1-root(5)(1-x^3))/(x^b(x+2)^2|logx|^a) $
Allora guardo cosa succede per $x->0^+$: $ f(x) rarr x^(3/5)/(4x^b|logx|^a) = 1/(4x^(b-3/5)|logx|^a) $ da cui ricavo che l'integrale converge per $b<8/5$ per ogni $a$ in $RR$ oppure per $b=8/5$ e $a>1$.
Domanda 1: ho fatto correttamente l'approssimazione della funzione? Perchè non sono sicuro che il numeratore tenda a $x^{3/5}$...
Poi ho fatto lo stesso con $x-> +oo$: $ f(x) rarr x^(3/5)/(4x^(b+2)|logx|^a) = 1/(4x^(b-3/5+2)|logx|^a) $ da cui ho ricavato che l'integrale converge per $b> -2/5$ per ogni $a$ oppure per $b=-2/5$ e $a >1$.
Unendo i due risultati:
$ { ( -2/5
Domanda 2: come sopra, è giusta la funzione asintotica che considero? Perchè, visto che l'esponente della $x$ cambia il valore finale di $a$ e $b$, vorrei essere sicuro sia giusto...
Domanda 3: in ogni caso c'è qualche sito o qualche testo dove posso trovare bene e schematicamente gli asintoti principali delle funzioni?
Grazie mille in anticipo
Devo stabilire per quali valori di $a$ e $b$ l'integrale converge:
$ int_(0)^(+oo ) (1-root(5)(1-x^3))/(x^b(x+2)^2|logx|^a) $
Allora guardo cosa succede per $x->0^+$: $ f(x) rarr x^(3/5)/(4x^b|logx|^a) = 1/(4x^(b-3/5)|logx|^a) $ da cui ricavo che l'integrale converge per $b<8/5$ per ogni $a$ in $RR$ oppure per $b=8/5$ e $a>1$.
Domanda 1: ho fatto correttamente l'approssimazione della funzione? Perchè non sono sicuro che il numeratore tenda a $x^{3/5}$...
Poi ho fatto lo stesso con $x-> +oo$: $ f(x) rarr x^(3/5)/(4x^(b+2)|logx|^a) = 1/(4x^(b-3/5+2)|logx|^a) $ da cui ho ricavato che l'integrale converge per $b> -2/5$ per ogni $a$ oppure per $b=-2/5$ e $a >1$.
Unendo i due risultati:
$ { ( -2/5
Domanda 2: come sopra, è giusta la funzione asintotica che considero? Perchè, visto che l'esponente della $x$ cambia il valore finale di $a$ e $b$, vorrei essere sicuro sia giusto...
Domanda 3: in ogni caso c'è qualche sito o qualche testo dove posso trovare bene e schematicamente gli asintoti principali delle funzioni?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Oltre a quello sopra indicato c'è un altro problema simile di cui non son certo della risposta...
Al variare di a trovare l'insieme di definizione di:
$ F_a(x)=int_(1)^(x) (t^(3/2)|t-2|^a)/(1-cos(pit))dt $
allora: di sicuro $1- cos(pit)!= 0$ xciò $t != ZZ pari$ dove chiaramante il coseno vale 1 e quindi il denominatore si annulla...
inoltre non sapendo come è fatto a, pongo anche $ t != 2$ e lo andrò ad analizzare successivamente...
per t--> k ho usato per ilò coseno lo sviluppo di Mc Laurin ed ho poi tralasciato l'infinitesimo...
$ f(t)rarr 1/(pit^(1/2)|t-2|^-a) $ perciò se $t != 2$ l'integrale converge per ogni a in $RR$; mentre se t = 2 converge se e solo se a> -1...
Domanda: è corretta la risposta che ho dato? Potevo fare lo sviluppo che ho fatto?
Grazie infinite a chiunque trovi il tempo per rispondermi
Al variare di a trovare l'insieme di definizione di:
$ F_a(x)=int_(1)^(x) (t^(3/2)|t-2|^a)/(1-cos(pit))dt $
allora: di sicuro $1- cos(pit)!= 0$ xciò $t != ZZ pari$ dove chiaramante il coseno vale 1 e quindi il denominatore si annulla...
inoltre non sapendo come è fatto a, pongo anche $ t != 2$ e lo andrò ad analizzare successivamente...
per t--> k ho usato per ilò coseno lo sviluppo di Mc Laurin ed ho poi tralasciato l'infinitesimo...
$ f(t)rarr 1/(pit^(1/2)|t-2|^-a) $ perciò se $t != 2$ l'integrale converge per ogni a in $RR$; mentre se t = 2 converge se e solo se a> -1...
Domanda: è corretta la risposta che ho dato? Potevo fare lo sviluppo che ho fatto?
Grazie infinite a chiunque trovi il tempo per rispondermi
Si però evita di scrivere in maiuscolo. Qui le frasi scritte in TUTTO MAIUSCOLO sono equivalenti all'urlato. Grazie.
Si stà ad indicare che sono corretti i procedimenti che ho fatto o è solo un modo per iniziare la frase???
comunque era un modo per rendere più chiaro il testo ed i dubbi... non capiterà più in futuro scusa
comunque era un modo per rendere più chiaro il testo ed i dubbi... non capiterà più in futuro scusa
No, no, scusami tu: quel "si" era solo un modo per iniziare la frase, purtroppo non ho proprio visto i tuoi conti e adesso non ho tempo di farlo.
Capito... d'accordo grazie lo stesso... se poi avanzi un attimo e ti va di darci un'occhiata te ne sarei ancor più grato 
Qualcuno di buona volontà mi sà rispondere? Perchè martedì ho l'esame 
[mod="gugo82"]@anto.massy: Ti è stato chiesto di eliminare il maiuscolo.
Nel primo post ci ho messo una pezza io; mi aspetto tu provveda nel secondo.[/mod]
Ad ogni modo, per quanto riguarda il primo esercizio, l'approssimazione asintotica in [tex]$x\to 0^+$[/tex] è sbagliata.
Infatti, per uno dei limiti fondamentali, hai [tex]$(1-y)^\theta -1\approx \theta y$[/tex] quando [tex]$y\to 0$[/tex], quindi...
Nel primo post ci ho messo una pezza io; mi aspetto tu provveda nel secondo.[/mod]
Ad ogni modo, per quanto riguarda il primo esercizio, l'approssimazione asintotica in [tex]$x\to 0^+$[/tex] è sbagliata.
Infatti, per uno dei limiti fondamentali, hai [tex]$(1-y)^\theta -1\approx \theta y$[/tex] quando [tex]$y\to 0$[/tex], quindi...
L'ammonimento di un moderatore mi sembrava sufficiente, oltretutto perchè non mi era stato richiesto esplicitamente ciò che dici, ma semplicemente di non scrivere in maiuscolo, comunque accetto anche il tuo richiamo (non certo fatto con modi gentili), ti ringrazio per "averci messo una pezza" e, come puoi vedere, ho già provveduto a cambiare anche il secondo post.
Visto che hai avuto la volontà comunque di rispondere al mio primo quesito ti ringrazio sinceramente; ho risvolto i calcoli e credo sia giusto ora, però se hai voglia di controllare ti ringrazio ulteriormente
Perciò:
per: $ xrarr 0_+ : f(x)rarr -1/(20x^(b-3)|logx|^a) $
e quindi l'integrale converge per b<4 per ogni a in $RR$ o per b=4 e a>1.
Per il resto dell'esercizio posso supporre sia tutto giusto visto che hai corretto solo questa parte?
Grazie ancora per la risposta
Visto che hai avuto la volontà comunque di rispondere al mio primo quesito ti ringrazio sinceramente; ho risvolto i calcoli e credo sia giusto ora, però se hai voglia di controllare ti ringrazio ulteriormente
Perciò:
per: $ xrarr 0_+ : f(x)rarr -1/(20x^(b-3)|logx|^a) $
e quindi l'integrale converge per b<4 per ogni a in $RR$ o per b=4 e a>1.
Per il resto dell'esercizio posso supporre sia tutto giusto visto che hai corretto solo questa parte?
Grazie ancora per la risposta
[mod="gugo82"]
Infatti, quando il guardiano di un parco ti becca a camminare su un aiuola e ti dice "Non si calpestano le aiuole", tu mica esci immediatamente dal recinto?!? No, credi che il richiamo valga solo per le prossime volte...
Ad ogni modo, ti ricordo il regolamento 3.10.[/mod]
In verità mi ero fermato al primo errore grave.
La parte finale è fatta bene, se non sbaglio.
Tuttavia c'è un altro errore grave su cui non si può passare: non hai valutato cosa succede in [tex]$1$[/tex].
"anto.massy":
L'ammonimento di un moderatore mi sembrava sufficiente, oltretutto perchè non mi era stato richiesto esplicitamente ciò che dici, ma semplicemente di non scrivere in maiuscolo, comunque accetto anche il tuo richiamo (non certo fatto con modi gentili), ti ringrazio per "averci messo una pezza" e, come puoi vedere, ho già provveduto a cambiare anche il secondo post.
Infatti, quando il guardiano di un parco ti becca a camminare su un aiuola e ti dice "Non si calpestano le aiuole", tu mica esci immediatamente dal recinto?!? No, credi che il richiamo valga solo per le prossime volte...
Ad ogni modo, ti ricordo il regolamento 3.10.[/mod]
"anto.massy":
Visto che hai avuto la volontà comunque di rispondere al mio primo quesito ti ringrazio sinceramente; ho risvolto i calcoli e credo sia giusto ora, però se hai voglia di controllare ti ringrazio ulteriormente
Perciò:
per: $ xrarr 0_+ : f(x)rarr -1/(20x^(b-3)|logx|^a) $
e quindi l'integrale converge per b<4 per ogni a in $RR$ o per b=4 e a>1.
Per il resto dell'esercizio posso supporre sia tutto giusto visto che hai corretto solo questa parte?
Grazie ancora per la risposta
In verità mi ero fermato al primo errore grave.
La parte finale è fatta bene, se non sbaglio.
Tuttavia c'è un altro errore grave su cui non si può passare: non hai valutato cosa succede in [tex]$1$[/tex].
Ed io allora, supponendo rispettata la regola 5.2, ricordo il regolamento 5.1 a te... e qui mi fermo per non infrangere il punto 3.10 che mi hai appena scritto
Comunque hai ragione; nel riguardarlo mi è venuto in mente anche a me che non avevo trattato quel caso... sono con poche speranze in analisi grazie comunque per aver trovato tempo per guardarlo te ne sono davvero grato
[mod="gugo82"]Il regolamento lo ricordo bene.
Quello nel mio primo post non era un ammonimento, ma una richiesta ben precisa e ben fondata, motivata dalla mancanza di rispetto che hai mostrato a fronte di una richiesta fattati dalla moderazione.
Ad ogni modo, queste faccende le risolveremo in separata sede.
Chiudo.[/mod]
Comunque hai ragione; nel riguardarlo mi è venuto in mente anche a me che non avevo trattato quel caso... sono con poche speranze in analisi
grazie comunque per aver trovato tempo per guardarlo te ne sono davvero grato [mod="gugo82"]Il regolamento lo ricordo bene.
Quello nel mio primo post non era un ammonimento, ma una richiesta ben precisa e ben fondata, motivata dalla mancanza di rispetto che hai mostrato a fronte di una richiesta fattati dalla moderazione.
Ad ogni modo, queste faccende le risolveremo in separata sede.
Chiudo.[/mod]
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