Conferma studio di funzione
Ho studiato questa funzione:
[tex]\frac{|x^2-x|}{e^x}[/tex]
L'ho studiata correttamente, per fortuna e il grafico viene così:
http://www.allfreeportal.com/imghost2/viewer.php?id=960757Funzione.JPG
E' richiesto lo studio della derivabilità, e i problemi potrebbero sorgere per [tex]x=0[/tex] e per [tex]x=1[/tex]
Ho usato la definizione e risulta derivabile anche in quei punti.
Ora mi si chiede di studiare la monotonia.
Precedentemente dallo studio della derivata prima ho trovato che quando il modulo è positivo la funzione è positiva per:
[tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Mentre quando è negativo è positiva nell'intervallo dove quei valori sono concordi esterni.
In base al grafico ho scritto che la funzione è :
Monotona crescente in [tex][0,\frac{3-\sqrt{5}}{2}]U[1, \frac{3+\sqrt{5}}{2}][/tex]
Monotona decrescente in [tex]]-\infty,0]U[\frac{3-\sqrt{5}}{2},1][/tex]
E' corretto?, gli intervalli sono corretti? Soprattutto mi interesserebbe sapere se ho preso bene i valori aperti e chiusi.
Ora ultima domanda, l'ho chiesto altre volte forse, ma me lo dimentico sempre
Rimango sempre fermo quando mi si chiede di trovare l'immagine, conosco la definizione, ma non ho idea di come procedere per trovarla...
Grazie.
[tex]\frac{|x^2-x|}{e^x}[/tex]
L'ho studiata correttamente, per fortuna e il grafico viene così:
http://www.allfreeportal.com/imghost2/viewer.php?id=960757Funzione.JPG
E' richiesto lo studio della derivabilità, e i problemi potrebbero sorgere per [tex]x=0[/tex] e per [tex]x=1[/tex]
Ho usato la definizione e risulta derivabile anche in quei punti.
Ora mi si chiede di studiare la monotonia.
Precedentemente dallo studio della derivata prima ho trovato che quando il modulo è positivo la funzione è positiva per:
[tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2}
Mentre quando è negativo è positiva nell'intervallo dove quei valori sono concordi esterni.
In base al grafico ho scritto che la funzione è :
Monotona crescente in [tex][0,\frac{3-\sqrt{5}}{2}]U[1, \frac{3+\sqrt{5}}{2}][/tex]
Monotona decrescente in [tex]]-\infty,0]U[\frac{3-\sqrt{5}}{2},1][/tex]
E' corretto?, gli intervalli sono corretti? Soprattutto mi interesserebbe sapere se ho preso bene i valori aperti e chiusi.
Ora ultima domanda, l'ho chiesto altre volte forse, ma me lo dimentico sempre
Rimango sempre fermo quando mi si chiede di trovare l'immagine, conosco la definizione, ma non ho idea di come procedere per trovarla...
Grazie.
Risposte
la funzione non è derivabile in $0$ e in $1$.
prova a postare i tuoi calcoli.
gli intervalli chiusi o aperti non cambia, puoi dire che è decrescente in $(-infty,0)$ così come in $(-infty,0]$, e lo stesso, è crescente in $(0,a)$ e in $[0,a)$, così come in $[0,a]$ o $(0,a]$ con $a$ quello che è.
quale sarebbe la differenza?
prova a postare i tuoi calcoli.
gli intervalli chiusi o aperti non cambia, puoi dire che è decrescente in $(-infty,0)$ così come in $(-infty,0]$, e lo stesso, è crescente in $(0,a)$ e in $[0,a)$, così come in $[0,a]$ o $(0,a]$ con $a$ quello che è.
quale sarebbe la differenza?
lo studio del segno della derivata, e quindi anche l'andamento della funzione, va bene.
sulla derivabilità, ti ha già detto blackbishop13 che non va bene: in base a che cosa affermeresti che è derivabile in 0 e 1?
per l'immagine o codominio, considera che la funzione è continua, non è mai negativa, assume il valore zero e tende a $+oo$ per x che tende a $-oo$.
allora che cosa puoi dedurne?
sulla derivabilità, ti ha già detto blackbishop13 che non va bene: in base a che cosa affermeresti che è derivabile in 0 e 1?
per l'immagine o codominio, considera che la funzione è continua, non è mai negativa, assume il valore zero e tende a $+oo$ per x che tende a $-oo$.
allora che cosa puoi dedurne?
Allora per quanto riguarda la derivabilità per esempio per x=1 calcolo il limite:
[tex]\frac{x^2-x}{(e^x)(x-1)}[/tex]
Dovrebbe essere quello il limite no?
Con de L'Hopital mi viene [tex]\frac{1}{e}[/tex]
Mentre per x=0 il limite dovrebbe essere:
[tex]\frac{x^2-x}{(e^x)x}[/tex] che fa -1.
Avrò sbagliato il rapporto incrementale..
[tex]\frac{x^2-x}{(e^x)(x-1)}[/tex]
Dovrebbe essere quello il limite no?
Con de L'Hopital mi viene [tex]\frac{1}{e}[/tex]
Mentre per x=0 il limite dovrebbe essere:
[tex]\frac{x^2-x}{(e^x)x}[/tex] che fa -1.
Avrò sbagliato il rapporto incrementale..
il problema è che il limite destro e il limite sinistro vanno fatti di due funzioni opposte, dunque potrebbe essere derivabile solo se quel limite fosse $0$ ...
e poi, non so quale limite hai fatto, ma non vengono forme indeterminate, per cui non è applicabile l'Hopital: da semplici sostituzioni vengono quattro risultati semplici $+1, -1, +1/e, -1/e$, mi pare.
e poi, non so quale limite hai fatto, ma non vengono forme indeterminate, per cui non è applicabile l'Hopital: da semplici sostituzioni vengono quattro risultati semplici $+1, -1, +1/e, -1/e$, mi pare.
Si perfetto hai ragione,devo stare attento, sono queste le cose per cui mi gioco l'esame.......
Ora passando all' immagine.
Mi viene un dubbio, è stato detto che tende a infinito per x che tende a - infinito.
Ma quando calcolo il limite lo calcolo su [tex]\frac{x^2-x}{e^x}[/tex] ?
Se si l'avevo sbagliato...
Comunque.....la funzione è definita in R, cioè in un intervallo, se non sbaglio in questo caso c'è un teorema che dice che la funzione ha per immagine un intervallo che ha come estremi l'inf e il sup della f.
Così....dal grafico e dai limiti, mi verrebbe da dire che l'immagine sia [tex][0,+\infty[[/tex]
Ora passando all' immagine.
Mi viene un dubbio, è stato detto che tende a infinito per x che tende a - infinito.
Ma quando calcolo il limite lo calcolo su [tex]\frac{x^2-x}{e^x}[/tex] ?
Se si l'avevo sbagliato...
Comunque.....la funzione è definita in R, cioè in un intervallo, se non sbaglio in questo caso c'è un teorema che dice che la funzione ha per immagine un intervallo che ha come estremi l'inf e il sup della f.
Così....dal grafico e dai limiti, mi verrebbe da dire che l'immagine sia [tex][0,+\infty[[/tex]
per fare il limite per $x-> -oo$, devi considerare come è definita nel "primo intervallo" che in questo caso è, come hai scritto tu, $(-oo, 0]$, e cioè appunto $(x^2-x)/(e^x)$, e considera che il numeratore tende a $+oo$ e il denominatore tende a $0^+$: non mi ero posta il problema di questo limite perché ho visto il tuo grafico ben fatto e quindi ho pensato che lo avessi svolto bene.
la deduzione sull'immagine è corretta, ma non basta quello che hai detto, nelle ipotesi c'è la continuità della funzione nell'intervallo.
la deduzione sull'immagine è corretta, ma non basta quello che hai detto, nelle ipotesi c'è la continuità della funzione nell'intervallo.
Ma la funzione non è continua in tutto il dominio?
Dal grafico non sembra continua in x=0 e x=1
Quindi forse l'ipotesi della continuità per il mio teorema non è veirificata o sbaglio?
Ho intuito per caso qual'è l'iimagine?
Non saprei come fare....mi sembra che non sia continua in tutto il dominio, quindi forse non è applicabile il teorema...
Dal grafico non sembra continua in x=0 e x=1
Quindi forse l'ipotesi della continuità per il mio teorema non è veirificata o sbaglio?
Ho intuito per caso qual'è l'iimagine?
Non saprei come fare....mi sembra che non sia continua in tutto il dominio, quindi forse non è applicabile il teorema...
continua sì. ... non mi pare che si potesse intendere diversamente... anche dal grafico appare continua.
però non è derivabile in $0$ e $1$, come abbiamo già detto.
però non è derivabile in $0$ e $1$, come abbiamo già detto.
Ah impressione mia, allora essendo continua vale quanto detto e l'immagine si trova facilmente.
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
prego.
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