Conferma soluzione limite con Taylor

[kondor1]

Salve a tutti,il limite è il seguente: [tex]$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)e^x-1-2x}{x\sinx}$[/tex]

Ho sviluppato con Taylor [tex]$e^x=1+x+{x^2 \over2}+o(x^2)$[/tex] e [tex]$sinx=x+o(x^2)$[/tex]; sostituendo:

[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+x+{x^2 \over 2}+o(x^2))}{x(x+o(x^2))}$[/tex][tex]$\rightarrow$[/tex][tex]$\lim_{x \to 0} \frac{{x^3 \over 2}+{3 \over 2}x^2 +o(x^2)}{x^2 + o(x^3)} = {3 \over 2}$[/tex], secondo voi è giusto come procedimento?

Grazie anticipatamente

[Lorin1]

Ci sono delle incongruenze tra il limite iniziale che hai postato e quello dopo a cui hai applicato lo sviluppo in serie. Ad esempio nel limite iniziale manca $senx$ al denominatore e nel secondo limite manca $-2x$

[kondor1]

"Lorin":Ci sono delle incongruenze tra il limite iniziale che hai postato e quello dopo a cui hai applicato lo sviluppo in serie. Ad esempio nel limite iniziale manca $senx$ al denominatore e nel secondo limite manca $-2x$

Sisi hai ragione,il limite iniziali infatti è:

[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)e^x-1-2x}{x sinx}$[/tex], per quanto riguarda [tex]$-2x$[/tex] l'ho semplificato con [tex]$2x$[/tex] che viene fuori dallo svolgimento del prodotto di [tex]$1+x$[/tex] per lo sviluppo in serie di [tex]$e^x$[/tex]

[Seneca1]

Il procedimento è giusto (i calcoli non li ho controllati).

[kondor1]

"Seneca":Il procedimento è giusto (i calcoli non li ho controllati).

Eccoli:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)e^x-1-2x}{x sinx} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+x+{x^2 \over 2}+o(x^2))-1-2x}{x sinx} = \lim_{x \to 0} \frac{{x^3 \over 2}+{3 \over 2}x^2+2x-2x-1+1+o(x^2)}{x sinx}$[/tex]

[Lorin1]

Si va bene

[kondor1]

"Lorin":Si va bene

Ok,grazie ad entrambi