Conferma risoluzione equazione differenziale [teoria]
Ciao a tutti ragazzi, ho il seguente problema di Cauchy:
Sia $y'(t)=(ty(t)-y^2(t))/t^2$, $y(1)=1$ con $t>0$,$y>0$ determinare se la soluzione è unica e se sì, valutare l'intervallo massimale.
Per quanto riguarda l'unicità e l'esistenza della soluzione massimale, noto come $f(t,y)=(ty(t)-y^2(t))/t^2$ sia lipschitziana (localmente) nella seconda variabile e continua. La soluzione massimale dunque esiste ed è unica.
L'equazione differenziale è di Bernoulli e si risolve molto facilmente, trascurando i calcoli, l'integrale generale:
$y=t/(ln(t)+c)$ per ogni $t>0$
e $y(t)=0$ per ogni $t>0$
Ricavo la soluzione al PC:
$y(1)=1$ implica che la soluzione nulla sia da scartare, la soluzione del Problema di Cauchy (ancora trascurando i calcoli) non può che essere:
$y=1/(ln(t)+1)$!
Per determinare l'intervallo massimale uso la condizione $y>0$, ciò è verificato esclusivamente se $ln(t)+1>0$ ossia nell'intervallo $I=(1/e,oo)$
Cosa ne pensate? Lo svolgimento è corretto?
Ciao, Peppe!
Sia $y'(t)=(ty(t)-y^2(t))/t^2$, $y(1)=1$ con $t>0$,$y>0$ determinare se la soluzione è unica e se sì, valutare l'intervallo massimale.
Per quanto riguarda l'unicità e l'esistenza della soluzione massimale, noto come $f(t,y)=(ty(t)-y^2(t))/t^2$ sia lipschitziana (localmente) nella seconda variabile e continua. La soluzione massimale dunque esiste ed è unica.
L'equazione differenziale è di Bernoulli e si risolve molto facilmente, trascurando i calcoli, l'integrale generale:
$y=t/(ln(t)+c)$ per ogni $t>0$
e $y(t)=0$ per ogni $t>0$
Ricavo la soluzione al PC:
$y(1)=1$ implica che la soluzione nulla sia da scartare, la soluzione del Problema di Cauchy (ancora trascurando i calcoli) non può che essere:
$y=1/(ln(t)+1)$!
Per determinare l'intervallo massimale uso la condizione $y>0$, ciò è verificato esclusivamente se $ln(t)+1>0$ ossia nell'intervallo $I=(1/e,oo)$
Cosa ne pensate? Lo svolgimento è corretto?
Ciao, Peppe!
Risposte
Nessuno riesce a darmi una mano? Buona notte a tutti!
Se i conti che hai fatto sono corretti (comunque puoi verificare se la funzione che trovi sia soluzione del problema di Cauchy...) non so, non ho verificato. Il procedimento e le considerazioni che fai sono ok. Magari direi esplicitamente che la cont. e locale lipsc. si hanno in tutto l'aperto t>0 y>0.
Grazie mille! 
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