Conferma le seguenti affermazioni sui punti stazionari di una funzione a più più variabili
Buonasera a tutti! Cerco conferma da parte vostra sulle seguenti affermazioni:
1) Un punto critico (o punto stazionario) che non è ne di massimo ne di minimo, allora è punto di sella!
2) Sia $f: X \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, con X aperto, una funzione di classe $C^2(X)$. Sia $\overline{x}_0 \in X$. Allora si hanno le seguenti condizioni sufficienti per la determinazione del massimo o minimo locale interno:
$\nabla f(\overline{x}_0)=\overline{0} \quad e \quad \overline{z}^T Hf(\overline{x}) \overline{z} <0 \quad \to \quad (\overline{x}_0)$ è massimo locale interno per f
$\nabla f(\overline{x}_0)=\overline{0} \quad e \quad \overline{z}^T Hf(\overline{x}) \overline{z} >0 \quad \to \quad (\overline{x}_0)$ è minimo locale interno per f
In base a quanto scritto precedentemente: se la forma quadratica $\overline{z}^T Hf(\overline{x})$ è semidefinita positiva o semidefinita negativa o indefinita (o equivalentemente: se il prodotto degli autovalori della matrice hessiana $Hf(\overline{x})$ è 0 oppure negativo), non è possibile giungere a nessuna conclusione...
3) ...quindi bisogna studiare l'incremento della funzione in un intorno di tali punti stazionari:
- Se l'incremento è sempre positivo o sempre negativo in qualsiasi intorno, si può concludere che si ha rispettivamente un punti di minimo e un punto di massimo locale;
- In caso contrario è sempre un punto di sella!
1) Un punto critico (o punto stazionario) che non è ne di massimo ne di minimo, allora è punto di sella!
2) Sia $f: X \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, con X aperto, una funzione di classe $C^2(X)$. Sia $\overline{x}_0 \in X$. Allora si hanno le seguenti condizioni sufficienti per la determinazione del massimo o minimo locale interno:
$\nabla f(\overline{x}_0)=\overline{0} \quad e \quad \overline{z}^T Hf(\overline{x}) \overline{z} <0 \quad \to \quad (\overline{x}_0)$ è massimo locale interno per f
$\nabla f(\overline{x}_0)=\overline{0} \quad e \quad \overline{z}^T Hf(\overline{x}) \overline{z} >0 \quad \to \quad (\overline{x}_0)$ è minimo locale interno per f
In base a quanto scritto precedentemente: se la forma quadratica $\overline{z}^T Hf(\overline{x})$ è semidefinita positiva o semidefinita negativa o indefinita (o equivalentemente: se il prodotto degli autovalori della matrice hessiana $Hf(\overline{x})$ è 0 oppure negativo), non è possibile giungere a nessuna conclusione...
3) ...quindi bisogna studiare l'incremento della funzione in un intorno di tali punti stazionari:
- Se l'incremento è sempre positivo o sempre negativo in qualsiasi intorno, si può concludere che si ha rispettivamente un punti di minimo e un punto di massimo locale;
- In caso contrario è sempre un punto di sella!
Risposte
Ricorda che oltre alle due condizioni sufficienti che hai elencato hai anche una condizione necessaria: se un punto stazionario è anche anche di estremo, allora la matrice Hessiana è semidefinita. Questo implica che se l'Hessiana è indefinita, allora il punto incriminato non può essere né di massimo né di minimo, e dunque puoi affermare con certezza che è un punto di sella.
L'incertezza, pertanto, rimane solo se l'Hessiana è semidefinita, e in tal caso bisogna ricorrere ad altri metodi (come studiare la restrizione della funziona ad una certa direzione)
L'incertezza, pertanto, rimane solo se l'Hessiana è semidefinita, e in tal caso bisogna ricorrere ad altri metodi (come studiare la restrizione della funziona ad una certa direzione)
Riporto le condizioni necessarie:
Punto di massimo locale interno per f $\quad \to \quad \overline{z}^T Hf(\overline{x}_0) \, \overline{z} \le 0 \quad \forall \, \overline{z} \in \mathbb{R}^n $
Punto di minimo locale interno per f $\quad \to \quad \overline{z}^T Hf(\overline{x}_0) \, \overline{z} \ge 0 \quad \forall \, \overline{z} \in \mathbb{R}^n $
Se dovessi basarmi solo solo sulle condizioni necessarie e sulle condizioni sufficienti da me riportate, deduco che le condizioni necessarie mi sono utili se già so che il punto stazionario è un punto di minimo o massimo locale interno.
Avendo invece solo a disposizione i punti stazionari e il segno della forma quadratica, se l'hessiana è indefinita, o semidefinita, basandomi solo sulle due condizioni sufficienti riportate, non posso concludere nulla.
E' corretto come ragionamento? In base a ciò, sono corrette le tre affermazioni che ho riportato nel primo post?
Punto di massimo locale interno per f $\quad \to \quad \overline{z}^T Hf(\overline{x}_0) \, \overline{z} \le 0 \quad \forall \, \overline{z} \in \mathbb{R}^n $
Punto di minimo locale interno per f $\quad \to \quad \overline{z}^T Hf(\overline{x}_0) \, \overline{z} \ge 0 \quad \forall \, \overline{z} \in \mathbb{R}^n $
Se dovessi basarmi solo solo sulle condizioni necessarie e sulle condizioni sufficienti da me riportate, deduco che le condizioni necessarie mi sono utili se già so che il punto stazionario è un punto di minimo o massimo locale interno.
Avendo invece solo a disposizione i punti stazionari e il segno della forma quadratica, se l'hessiana è indefinita, o semidefinita, basandomi solo sulle due condizioni sufficienti riportate, non posso concludere nulla.
E' corretto come ragionamento? In base a ciò, sono corrette le tre affermazioni che ho riportato nel primo post?
"xavio310":
Se dovessi basarmi solo solo sulle condizioni necessarie e sulle condizioni sufficienti da me riportate, deduco che le condizioni necessarie mi sono utili se già so che il punto stazionario è un punto di minimo o massimo locale interno.
Be', non al 100%. Come ho scritto precedentemente, le due condizioni necessarie, prese unitamente, sono equivalenti all'affermazione "se l'Hessiana di un punto stazionario è indefinita, allora il punto in questione è un punto di sella". Quindi se stai svolgendo un esercizio in cui devi classificare i punti stazionari, il "problema" ce l'hai solo se l'Hessiana è semidefinita. Pertanto, non è vero che le condizioni necessarie ti sono utili solo se già sai che il p. stazionario è anche di estremo!
"xavio310":
Avendo invece solo a disposizione i punti stazionari e il segno della forma quadratica, [highlight]se l'hessiana è indefinita[/highlight], o semidefinita, basandomi solo sulle due condizioni sufficienti riportate, non posso concludere nulla.
Se togli la parte evidenziata, in base a ciò che ho detto prima, allora sì, quello che dici è corretto.
In definitiva, l'affermazione 1) del tuo primo post è corretta; la 2) lo è con le dovute precisazioni sul caso dell'Hessiana indefinita; la 3) è corretta, sempre ricordando, insisto, che un metodo alternativo allo studio dell'Hessiana, per determinare la natura dei punti stazionari, è necessario solo se quest'ultima è semidefinita!
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