Conferma integrale doppio

[matemalu]

Ciao ragazzi, avrei bisogno solo di una conferma della correttezza nello svolgimento di questo esercizio:

$int int_C (x^2+y^2+1)dxdy$ dove $ C={(x,y): x^2+y^2<=4,y>=-1}$

Allora, passo in coordinate polari, dunque:
${(x=rhocos(theta)),(y=rhosin(theta)):} $e l' insieme di integrazione diventa ${(rho^2<=4),(rhosin(theta)>=-1):} rArr 0<=rho<=2,theta in [0,2pi]$

Perciò l' integrale diventa: $ int_0^{2pi}int_0^2 ((rho^2+1)*rho) drhod(theta)$ e se non ho sbagliato i calcoli, il risultato è $16pi$

Vi ringrazio se mi aiutate!!!

[ciampax]

Le limitazioni non sono corrette. Prova a fare un disegno del dominio in coordinate cartesiane: ti accorgerai che non devi prendere tutti gli angoli e che il valore di $\rho$ è delimitato dal valore di $\theta$.

[matemalu]

Giusto, io avevo dato per scontato $rhosin(theta)>=-1$.
Quindi dal disegno ricavo che $theta in [0,7/6pi]$ e $ theta in [11/6pi,2pi]$ e quindi $-1/sin(theta) <= rho <= 2$ ?

[ciampax]

E no! Il disegno ti suggerisce di dividere la figura in due parti: una è costituita dalla sezione della circonferenza che sottende l'arco dal punto $A(1,-1)$ al punto $B(-1,-1)$, l'altra dal triangolo di vertici $AOB$. Per ognuno dei due insiemi, dovrai determinare le limitazioni, spezzando l'integrale in due.

[matemalu]

Non capisco perché devo considerare i punti $(1,-1),(-1,-1)$. Io pensavo di considerare i punti $(sqrt(3),-1),(-sqrt(3),-1)$ che sono i punti in cui la retta $y=-1$ incontra la circonferenza

[ciampax]

Sì, scusa, sbagliato io a scrivere. I punti estremi dell'arco sono quelli che hai detto tu, pensavo alla circonferenza $x^2+y^2=2$.