Condizioni sufficienti ottimizzazione
salve a tutti vorrei un vostro parere su un dubbio che mi è venuto ieri mentre facevo lo scritto di analisi 2 (quindi nel momento migliore...):
capita spesso, studiando l'ottimizzazione di funzioni in più variabili, di trovare degli esercizi che ti chiedono di trovare massimi e minimi (relativi e assoluti) su un certo insieme COMPATTO A (potrebbe essere un quadrato, una circonferenza etc..) per una certa funzione F (un polinomio per esempio).
ciò che finora io ho fatto in questo genere di esercizi è:
1) ricordarmi del fatto che gli estremi assoluti esistono sicuramente o all'interno o sul bordo.
2) trovare gli estremi liberi di F su A.
3) trovare gli estremi vincolati di F sulla frontiera dell'insieme A.
4) unire i risultati dei punti 2) e 3) e passare all'esercizio dopo.
il dubbio:
se io ho dei massimi/minimi vincolati (sul bordo) chi mi assicura che continueranno ad essere massimi/minimi sull'insieme A considerato globalmente?
che ne pensate?
grazie in anticipo per il vostro tempo
capita spesso, studiando l'ottimizzazione di funzioni in più variabili, di trovare degli esercizi che ti chiedono di trovare massimi e minimi (relativi e assoluti) su un certo insieme COMPATTO A (potrebbe essere un quadrato, una circonferenza etc..) per una certa funzione F (un polinomio per esempio).
ciò che finora io ho fatto in questo genere di esercizi è:
1) ricordarmi del fatto che gli estremi assoluti esistono sicuramente o all'interno o sul bordo.
2) trovare gli estremi liberi di F su A.
3) trovare gli estremi vincolati di F sulla frontiera dell'insieme A.
4) unire i risultati dei punti 2) e 3) e passare all'esercizio dopo.
il dubbio:
se io ho dei massimi/minimi vincolati (sul bordo) chi mi assicura che continueranno ad essere massimi/minimi sull'insieme A considerato globalmente?
che ne pensate?
grazie in anticipo per il vostro tempo
Risposte
Be' i massimi/minimi calcolati sulla frontiera continueranno a essere massimi/minimi relativi sull'insieme $A$ considerato globalmente, ma non saranno necessariamente massimi/minimi assoluti
mah, il buon senso a me dice esattamente il contrario: è possibile immaginare il grafico di una funzione dove i massimi/minimi vincolati (sul bordo) NON sono massimi e minimi su un certo insieme A.
sono invece d'accordissimo che potrebbero non essere massimi/minimi assoluti
"v3ct0r":
Be' i massimi/minimi calcolati sulla frontiera continueranno a essere massimi/minimi relativi sull'insieme $A$ considerato globalmente, ma non saranno necessariamente massimi/minimi assoluti
Buon buonsenso, quello di Koller.
Infatti questa affermazione è falsa.
Basta considerare f(x,y) = x con vincolo il primo e quarto quadrante (asse delle y compreso).
Tutti i punti dell'asse delle y (che è il bordo del vincolo) sono punti sia di min che di max assoluto, per f ristretta a tale retta.
Ma ovviamente non sono punti di massimo assoluto per f.
Ci vuole poco a modificare l'esempio in modo da farlo fungere anche se il vincolo fosse un compatto.
Hai ragione, mi sono reso conto solo ora della stupidaggine che ho scritto 
Grazie della correzione!
Grazie della correzione!
Prego 
Capita a tutti, me per primo
Aggiungo che spesso le funzioni di più variabili (e anche proprio il tema dei loro max e min) assumono spesso un'aura di mistero, che potrebbe svanire se ci si riducesse ai "fondamentali" e ci si sforzasse di insistere di più su esempi semplici, di base, tipo quello che ho fatto, invece di studiare (e far studiare) casi in cui le difficoltà calcolistiche nascondono i temi di fondo.
Capita a tutti, me per primo
Aggiungo che spesso le funzioni di più variabili (e anche proprio il tema dei loro max e min) assumono spesso un'aura di mistero, che potrebbe svanire se ci si riducesse ai "fondamentali" e ci si sforzasse di insistere di più su esempi semplici, di base, tipo quello che ho fatto, invece di studiare (e far studiare) casi in cui le difficoltà calcolistiche nascondono i temi di fondo.
perfetto! alla luce di quanto detto da fioravante il mio algoritmo sopra illustrato (i punti 1234) è sbagliato o non del tutto corretto poichè fa uso dell'affermazione rivelatasi falsa. in altre parole il mio dubbio era ben fondato.
adesso però ho il problema di trovare un nuovo algoritmo generale per l'ottimizzazione su un compatto, sempre che ne esista uno... io a questo punto direi di usare un algoritmo che risolva prima il problema degli estremi assoluti e poi di quelli relativi:
1)si cercano gli estremi liberi (ci interessano quelli interni e quelli sul bordo)
2)si cercano gli estremi vincolati
3)qualche candidato lo si deve aver trovato per forza poichè gli estremi assoluti esistono e sono o interni o sul vincolo (cioè il bordo)
4) si valuta la funzione sopra i punti candidati e abbiamo così trovato gli estremi ASSOLUTI
5) sono estremi relativi i punti trovati al punto 1) (ovviamente non ci interessano quelli fuori dal nostro compatto A)
fino a qui tutto a posto..
rimane però il dubbio su tutti quei punti che verificano CONTEMPORANEAMENTE Queste tre proprietà:
- NON li abbiamo trovati al punto 1)
- li abbiamo trovati al punto 2)
- NON sono estremi assoluti
ad esempio
$f(x,y) = -2x^3+4x^2y+5x^2-12xy+4y^2$ nel quadrato avente vertici $(0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1)$ (bordo incluso ovviamente)
$(0,0) , (1,1)$ sono estremi assoluti, ma cosa dire di $(0,1) , (1,0)$ ?
adesso però ho il problema di trovare un nuovo algoritmo generale per l'ottimizzazione su un compatto, sempre che ne esista uno... io a questo punto direi di usare un algoritmo che risolva prima il problema degli estremi assoluti e poi di quelli relativi:
1)si cercano gli estremi liberi (ci interessano quelli interni e quelli sul bordo)
2)si cercano gli estremi vincolati
3)qualche candidato lo si deve aver trovato per forza poichè gli estremi assoluti esistono e sono o interni o sul vincolo (cioè il bordo)
4) si valuta la funzione sopra i punti candidati e abbiamo così trovato gli estremi ASSOLUTI
5) sono estremi relativi i punti trovati al punto 1) (ovviamente non ci interessano quelli fuori dal nostro compatto A)
fino a qui tutto a posto..
rimane però il dubbio su tutti quei punti che verificano CONTEMPORANEAMENTE Queste tre proprietà:
- NON li abbiamo trovati al punto 1)
- li abbiamo trovati al punto 2)
- NON sono estremi assoluti
ad esempio
$f(x,y) = -2x^3+4x^2y+5x^2-12xy+4y^2$ nel quadrato avente vertici $(0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1)$ (bordo incluso ovviamente)
$(0,0) , (1,1)$ sono estremi assoluti, ma cosa dire di $(0,1) , (1,0)$ ?
questa tra l'altro è funzione del mio analisi 2 di ieri, quella che mi ha fatto venire tutti sti dubbi
In sti giorni ho cercato in lungo e in largo su eserciziari, libri di teoria e libri di ottimizzazione accenni alla casistica dell'esercizio che ho postato sopra! Peró in generale non ho trovato nulla, i libri si limitano a dire che bisogna cercare gli estremi liberi e quelli vincolati e lasciano scoperti da ogni genere di considerazione gli esercizi come il mio...
Mi viene il dubbio che non ci sia un algoritmo generale ma ci si affidi alla (presunta) semplicitá degli esercizi
Mi viene il dubbio che non ci sia un algoritmo generale ma ci si affidi alla (presunta) semplicitá degli esercizi
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