Condizioni per la differenziabilità

[Ferla1]

Buongiorno a tutti, avrei un quesito di tipo teorico da porvi. Nonostante lo studio,mi rimangono dei dubbi sulle condizioni che mi assicurano che una funzione a 2 variabili sia differenziabile in un punto. Mi spiego meglio: ho capito che se una funzione non è continua non può essere differenziabile,poi però leggo che potrebbero anche esistere tutte le derivate direzionali in un punto ma in quello stesso punto la funzione potrebbe non essere continua e quindi neanche differenziabile. Ma perché?? La continuità non è condizione NECESSARIA della derivabilità? Inoltre ho letto anche che se una funzione è differenziabile allora esistono le derivate nel punto lungo ogni direzione, ma poi un teorema mi dice che condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità,oltre alla continuità è l'esistenza delle derivate parziali(che sono solo due delle infinite direzioni lungo le quali è possibile calcolare la derivata). Insomma i dubbi sono parecchi,scusate se mi sono dilungato troppo!!!

[Brancaleone1]

Ciao Ferla e benvenuto

"Ferla": ho capito che se una funzione non è continua non può essere differenziabile,poi però leggo che potrebbero anche esistere tutte le derivate direzionali in un punto ma in quello stesso punto la funzione potrebbe non essere continua e quindi neanche differenziabile. Ma perché?? La continuità non è condizione NECESSARIA della derivabilità?

No, per le funzioni a due o più variabili la derivabilità non implica la continuità.

"Ferla":Inoltre ho letto anche che se una funzione è differenziabile allora esistono le derivate nel punto lungo ogni direzione, ma poi un teorema mi dice che condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità,oltre alla continuità è l'esistenza delle derivate parziali

Condizione sufficiente di differenziabilità è che la funzione sia continua e derivabile con continuità - quindi non basta che le derivate esistano, devono anche essere continue. Guarda qui

Sia $f:A sube RR^n -> RR$, con $A$ aperto e $mathbf(x)_0 in A$. Supponiamo che le derivate parziali di $f$ esistano in un intorno di $mathbf(x)_0$ e siano continue in $mathbf(x)_0$. Allora $f$ è differenziabile in $mathbf(x)_0$.
In particolare, se le derivate parziali di $f$ esistono e sono continue in tutto $A$, allora $f$ è differenziabile in tutti i punti di $A$.

In pratica

$f in C^1(A) => f text( differenziabile in ) A$