Condizioni non soddisfatte in PdC

[Oiram92]

Salve, sto svolgendo un esercizio in cui mi si chiede di determinare (facendo uso della trasformata di Laplace) in \(\displaystyle [0,+\infty[ \) la soluzione del sistema :

\(\displaystyle \Bigg\{ \begin{array}{lcl} x'-y'+y & = & t \\ x'+x-2y' & = & 0\end{array} \)

soddisfacente le condizioni \(\displaystyle x(0)=0 \) e \(\displaystyle y(0)=1 \).

Dopo aver svolto l'esercizio (trovate lo svolgimento sotto spoiler) giungo a :

\(\displaystyle x(t) = 2 \;u(t) - 2 \;cos(t) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; y(t) = t \; u(t) + u(t) - \sqrt{2} \; sen(t + \frac{\pi}{4})\)

da cui si ha \(\displaystyle x(0) = 0 \) e \(\displaystyle y(0) = 0 \). Quindi la seconda condizione non è soddisfatta. Non capisco se è un errore mio..in una situazione del genere sarei portato a dire che non esiste una soluzione che verifica entrambe le condizioni. Sbaglio?

Siano \(\displaystyle x(t),y(t) \) funzioni localmente assolutamente continue in \(\displaystyle [0,+\infty[ \) con derivata prima \(\displaystyle \mathcal{L} \)-trasformabile. Allora, applicando la trasformata di Laplace :

\(\displaystyle \Bigg\{ \begin{array}{lcl} sX(s) + (1-s)Y(s) & = & \frac{1}{s^2} \\ (s+1)X(s) - 2sY(s) & = & 0\end{array} \)

Considerando la matrice dei coefficienti :

\(\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} s & 1-s \\ s+1 & -2s \end{array} \right) \rightarrow det(A) = -s^2-1 \)

quindi il sistema è normale non degenere, di conseguenza ammette soluzione unica. Risolvendo il sistema si perviene a :

\(\displaystyle \Bigg\{ \begin{array}{lcl} X(s) & = & \frac{2}{s(s^2+1)} \\ Y(s) & = & \frac{s+1}{s^2(s^2+1)} \end{array} \)

Decomponendo in fratti semplici per poi antitrasformare si ha :

\(\displaystyle \Bigg\{ \begin{array}{lcl} X(s) & = & 2 \cdot \frac{1}{s} - 2 \frac{s}{s^2+1} \\ Y(s) & = & \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s} - \frac{s+1}{s^2+1} \end{array} \)

Allora, antitrasformando secondo Laplace :

\(\displaystyle \Bigg\{ \begin{array}{lcl} x(t) & = & 2\; u(t) - 2 \;cos(t) \\ y(t) & = & t \; u(t) + u(t) - \sqrt{2}\; sen(t + \frac{\pi}{4}) \end{array} \)

[Studente Anonimo]

La trasformata di Laplace di $[y'(t)]$ è $[sY(s)-y(0)=sY(s)-1]$.

[Oiram92]

Hai ragione , grazie mille..ed io che cercavo errori nei calcoli