Condizioni necessarie/sufficenti per differenziabilità

[kobeilprofeta]

Necessarie:
sia $f$ differenziabile in $a$, allora $AA v in RR^n$ f è derivabile lungo v e si ha $D_v(f(a))=<\lambda,v>$
sufficienti:
se esiste un intorno $B_r(a)$ in cui sono continue tutte le derivate parziali di f in a, segue che f è differenziabile in a.

ma non capisco come possa verificarsi la prima condizione e non la seconda.

grazie

[poll89]

La continuità delle derivate parziali non è garantita dalla condizione

"kobeilprofeta":f differenziabile in a, allora ∀v∈Rn f è derivabile lungo v e si ha Dv(f(a))=<λ,v>

ma è necessaria per dimostrare la condizione sufficiente (si chiama teorema del differenziale totale). Non ricordo bene la dimostrazione ma, se non sbaglio, ad un certo punto si prende il teorema di Lagrange e lo si usa sulle derivate parziali, ed il teo di Lagrange vale solo su funzioni continue.

[kobeilprofeta]

quindi la prima mi dice solo che tutte le variabili direzionali (in particolare anche le parziali) esistono; la seconda mi chiede che siano pure continue, giusto?

[poll89]

Esattamente.

[_fabricius_1]

Tuttavia fai attenzione: la diffenziabilità in un punto implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali, ma non vale il viceversa. Cioè ci sono funzioni che ammettono derivate direzionali in tutte le direzioni e che, nonostante ciò, non sono differenziabili (qui un esempio).