Condizioni necessarie e sufficienti per i criteri di monotonia e di stretta monotonia
Ciao a tutti!
A breve ho l'esame orale di Matematica 1 e c'è una cosa che non mi è chiara.
Nel programma dettagliato del corso si richiede la conoscenza delle condizioni sufficienti e necessarie per i criteri di monotonia e di stretta monotonia. Il libro di testo non riporta questa sottigliezza e, provando a ragionare, sono giunta a questa conclusione, ma ovviamente non ne sono certa:
Sia $f$ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$
Caso funzione crescente (strettamente crescente) nell'intervallo $[a,b]$
se $a<=x1<=x2<=b$ , allora $f(x1)<=f(x2)$ ($f(x1))
- Condizione Necessaria: $f'(x)>=0 (>0) AA x in ]a,b[$
- Condizioni Sufficienti: $f$ deve essere derivabile in $]a,b[$ (e, di conseguenza, continua in $[a,b]$)
Sapreste dirmi se ho sbagliato? In tal caso, quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per i due criteri?
Grazie mille
A breve ho l'esame orale di Matematica 1 e c'è una cosa che non mi è chiara.
Nel programma dettagliato del corso si richiede la conoscenza delle condizioni sufficienti e necessarie per i criteri di monotonia e di stretta monotonia. Il libro di testo non riporta questa sottigliezza e, provando a ragionare, sono giunta a questa conclusione, ma ovviamente non ne sono certa:
Sia $f$ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$
Caso funzione crescente (strettamente crescente) nell'intervallo $[a,b]$
se $a<=x1<=x2<=b$ , allora $f(x1)<=f(x2)$ ($f(x1)
- Condizione Necessaria: $f'(x)>=0 (>0) AA x in ]a,b[$
- Condizioni Sufficienti: $f$ deve essere derivabile in $]a,b[$ (e, di conseguenza, continua in $[a,b]$)
Sapreste dirmi se ho sbagliato? In tal caso, quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per i due criteri?
Grazie mille
Risposte
Sulla condizione necessaria sei OK.
Su quella sufficiente c'è qualcosa che non va: infatti, ad esempio, la funzione \(f(x):=x^2\) è derivabile in \([-1,1]\), ma si guarda bene dall'essere monotona.
Su quella sufficiente c'è qualcosa che non va: infatti, ad esempio, la funzione \(f(x):=x^2\) è derivabile in \([-1,1]\), ma si guarda bene dall'essere monotona.
Vero... :\
Allora, dato che nel caso di monotonia vale la doppia implicazione, la condizione è sia necessaria che sufficiente?
E nel caso di stretta monotonia, invece, in cui la doppia implicazione non vale (perché una funzione può essere strettamente monotòna e avere derivata che si annulla in un punto, es. $x^3$), quale dovrebbe essere la condizione sufficiente?
Allora, dato che nel caso di monotonia vale la doppia implicazione, la condizione è sia necessaria che sufficiente?
E nel caso di stretta monotonia, invece, in cui la doppia implicazione non vale (perché una funzione può essere strettamente monotòna e avere derivata che si annulla in un punto, es. $x^3$), quale dovrebbe essere la condizione sufficiente?
Mi scuso con meli93 perché sento che sto per scrivere un post chilometrico. 
Intanto, in bocca al lupo per l'esame!
Vediamo...
Hai $f$ continua su $[a,b]\subset \RR$ derivabile in $]a,b[$ e vorresti definire le condizioni necessarie e sufficienti per la crescenza e la stretta crescenza.
Questa definizione personalmente non mi piace, ma non per un gusto estetico, ma proprio per quello che c'è scritto. Suppongo che in essa tu abbia raccolto due definizioni
1.
$f$ è crescente in $[a,b]$ - anche se "non decrescente" molti lo ritengono un termine migliore, in questo caso - se
$a\le x_1 \le x_2 \le b$, allora $f(x_1)\le f(x_2)$.
Fino a qui tutto ok, questa è la definizione di una funzione non decrescente nell'intervallo e ci siamo.
2.
$f$ è strettamente crescente in $[a,b]$ se
$a \le x_1 \le x_2 \le b$, allora $f_(x_1)< f(x_2)$.
Questa definizione proprio non va e ti faccio capire subito le perplessità: nota che non voglio annoiarti o rimproverarti qualcosa - non mi permetterei mai, siamo qui per capire - ma solo esporre un'argomentazione adeguata atta ad analizzare le perplessità di poc'anzi (poco fa ho visto "the big bang theory" e devo "smaltire" la parlata di Sheldon 
).
In base a questa definizione, possiamo incappare in un assurdo abbastanza evidente se ci fai caso. Infatti il "$x_1 \le x_2$" non ci vieta di scegliere $x_1=x_2$ ma con questa definizione otteniamo $f(x_1)
Tolte le disquisizioni filosofiche, torniamo a noi.
La 1. va bene, anche se in molti testi si preferisce
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], \qquad x_1
Per la 2. il modo migliore per correggerla è utilizzare la definizione stessa a parole. Cioè una funzione strettamente crescente non è altro che una funzione crescente e iniettiva!
So
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], \qquad x_1
Passiamo, ora, al caso delle derivate.
Sinceramente non le ho capite molto queste condizioni.
Cioè, per la prima, se $f'(x)\ge 0$ abbiamo - c'è un teorema che lo mostra se non ricordo male - che la funzione è non decrescente. Quindi è una condizione necessaria, ma anche sufficiente per la crescenza debole.
Ricordavo che la condizione necessaria e sufficiente per la stretta crescenza era $f'(x)>0$ ma sto scavando nella memoria - non sono mai stato ferrato in "condizioni" -, quindi non assicuro nulla.
La seconda mi lascia perplesso, dici "$f$ deve essere derivabile in $]a,b[$"... ma questa non era un'ipotesi?
PS.
Facendo l'anteprima ho visto che ha risposto gugo, ma oramai ho scritto un papiro e non ho nessuna voglia di cancellarlo.
Intanto, in bocca al lupo per l'esame!
Vediamo...
Hai $f$ continua su $[a,b]\subset \RR$ derivabile in $]a,b[$ e vorresti definire le condizioni necessarie e sufficienti per la crescenza e la stretta crescenza.
"meli93":
Caso funzione crescente (strettamente crescente) nell'intervallo $ [a,b] $
se $ a<=x1<=x2<=b $ , allora $ f(x1)<=f(x2) $ ($ f(x1)< f(x2)$)
Questa definizione personalmente non mi piace, ma non per un gusto estetico, ma proprio per quello che c'è scritto. Suppongo che in essa tu abbia raccolto due definizioni
1.
$f$ è crescente in $[a,b]$ - anche se "non decrescente" molti lo ritengono un termine migliore, in questo caso - se
$a\le x_1 \le x_2 \le b$, allora $f(x_1)\le f(x_2)$.
Fino a qui tutto ok, questa è la definizione di una funzione non decrescente nell'intervallo e ci siamo.
2.
$f$ è strettamente crescente in $[a,b]$ se
$a \le x_1 \le x_2 \le b$, allora $f_(x_1)< f(x_2)$.
Questa definizione proprio non va e ti faccio capire subito le perplessità: nota che non voglio annoiarti o rimproverarti qualcosa - non mi permetterei mai, siamo qui per capire
- ma solo esporre un'argomentazione adeguata atta ad analizzare le perplessità di poc'anzi (poco fa ho visto "the big bang theory" e devo "smaltire" la parlata di Sheldon ).In base a questa definizione, possiamo incappare in un assurdo abbastanza evidente se ci fai caso. Infatti il "$x_1 \le x_2$" non ci vieta di scegliere $x_1=x_2$ ma con questa definizione otteniamo $f(x_1)
Tolte le disquisizioni filosofiche, torniamo a noi.
La 1. va bene, anche se in molti testi si preferisce
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], \qquad x_1
Per la 2. il modo migliore per correggerla è utilizzare la definizione stessa a parole. Cioè una funzione strettamente crescente non è altro che una funzione crescente e iniettiva!
So
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], \qquad x_1
Passiamo, ora, al caso delle derivate.
"meli93":
- Condizione Necessaria: $ f'(x)>=0 AA x in ]a,b[ $
- Condizioni Sufficienti: $ f $ deve essere derivabile in $ ]a,b[ $ (e, di conseguenza, continua in $ [a,b] $)
Sinceramente non le ho capite molto queste condizioni.
Cioè, per la prima, se $f'(x)\ge 0$ abbiamo - c'è un teorema che lo mostra se non ricordo male - che la funzione è non decrescente. Quindi è una condizione necessaria, ma anche sufficiente per la crescenza debole.
Ricordavo che la condizione necessaria e sufficiente per la stretta crescenza era $f'(x)>0$ ma sto scavando nella memoria - non sono mai stato ferrato in "condizioni" -, quindi non assicuro nulla.
La seconda mi lascia perplesso, dici "$f$ deve essere derivabile in $]a,b[$"... ma questa non era un'ipotesi?
PS.
Facendo l'anteprima ho visto che ha risposto gugo, ma oramai ho scritto un papiro e non ho nessuna voglia di cancellarlo.
"meli93":
Allora, dato che nel caso di monotonia vale la doppia implicazione, la condizione è sia necessaria che sufficiente?
A quanto capisco, intendi questa condizione per la monotonia:
Siano \(I\) un intervallo ed \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione derivabile internamente ad \(I\).
La \(f\) è crescente in \(I\) se e solo se \(f^\prime(x)\geq 0\) internamente ad \(I\).
giusto?
La condizione \(f^\prime (x)\geq 0\), in generale, non basta ad assicurarti la crescenza di \(f\) in senso stretto (i.e., la condizione \(f^\prime (x)\geq 0\) non è sufficiente alla crescenza stretta), come si mostra con facili controesempi.
Ad esempio, la funzione:
\[
f(x):=\begin{cases}
(x+1)^3 &\text{, se } -2\leq x\leq -1\\
0 &\text{, se } -1\leq x\leq 1\\
(x-1)^3 &\text{, se } 1\leq x\leq 2
\end{cases}
\]
è derivabile in \(]-2,2[\), ha la derivata prima continua e \(\geq 0\) in tale intervallo; tuttavia \(f\) non è strettamente crescente, come si può vedere dal grafico.
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("(x+1)^3",-2,-1); line([-1,0],[1,0]); plot("(x-1)^3",1,2);[/asvg]
"meli93":
E nel caso di stretta monotonia, invece, in cui la doppia implicazione non vale (perché una funzione può essere strettamente monotòna e avere derivata che si annulla in un punto, es. $x^3$), quale dovrebbe essere la condizione sufficiente?
Osserva bene il grafico di cui sopra e chiediti dove sono i problemi in quel caso lì, i.e. dove perdi la monotonia stretta?
Grazie, Zero87.
Al di là degli errori nella definizione di stretta monotonia e la confusione che ho fatto tra 'ipotesi' e 'condizione sufficiente', ricapitolando:
-Per il criterio di monotonia (f crescente): $f(x)>=0 AA x in]a,b[ harr f$ è crescente in $[a,b]$ è una condizione sia
necessaria che sufficiente per la monotonia della funzione.
-Per il criterio di stretta monotonia (f crescente): $f(x)>0 AA x in]a,b[ -> f$ è strettamente crescente in $]a,b[$ è una
condizione necessaria ma non sufficiente, in quanto non sussiste un'implicazione biunivoca.
In $[-1,1]$
la funzione è monotòna, ma non in senso stretto, essendo costante in questo intervallo e risultando
$f'(x)=0 AA x in ]-1,1[$
Allora non capisco quale sia la condizione sufficiente per la stretta monotonia, perché anche in $x^3$ la derivata si annulla in 0 ma la funzione è strettamente monotòna ($x=0$ però è solo un punto, non un intervallo...). Sto facendo molta confusione
Al di là degli errori nella definizione di stretta monotonia e la confusione che ho fatto tra 'ipotesi' e 'condizione sufficiente', ricapitolando:
-Per il criterio di monotonia (f crescente): $f(x)>=0 AA x in]a,b[ harr f$ è crescente in $[a,b]$ è una condizione sia
necessaria che sufficiente per la monotonia della funzione.
-Per il criterio di stretta monotonia (f crescente): $f(x)>0 AA x in]a,b[ -> f$ è strettamente crescente in $]a,b[$ è una
condizione necessaria ma non sufficiente, in quanto non sussiste un'implicazione biunivoca.
"giugo82":
Osserva bene il grafico di cui sopra e chiediti dove sono i problemi in quel caso lì, i.e. dove perdi la monotonia stretta?
In $[-1,1]$
la funzione è monotòna, ma non in senso stretto, essendo costante in questo intervallo e risultando
$f'(x)=0 AA x in ]-1,1[$
Allora non capisco quale sia la condizione sufficiente per la stretta monotonia, perché anche in $x^3$ la derivata si annulla in 0 ma la funzione è strettamente monotòna ($x=0$ però è solo un punto, non un intervallo...). Sto facendo molta confusione
Forse ci sono. La condizione sufficiente a garantire la stretta monotonia è che $f'$ non si annulli identicamente in alcun sotto-intervallo contenuto in $(a,b)$
In ogni caso vi ringrazio tantissimo per la vostra disponibilità, il confronto è sempre stimolante
In ogni caso vi ringrazio tantissimo per la vostra disponibilità, il confronto è sempre stimolante
"meli93":
Forse ci sono. La condizione sufficiente a garantire la stretta monotonia è che $f'$ non si annulli identicamente in alcun sotto-intervallo contenuto in $(a,b)$
Esattamente.
Per la precisione:
Siano \(I\) un intervallo e \(f:I\to \mathbb{R}\) derivabile internamente ad \(I\).
Se:
[list=1][*:14mbzkug] \(f^\prime (x)\geq 0\) internamente ad \(I\)
[/*:m:14mbzkug]
[*:14mbzkug] \(f^\prime\) non si annulla su alcun sottointervallo ben contenuto in \(I\)[/*:m:14mbzkug][/list:o:14mbzkug]
allora \(f\) è strettamente crescente internamente ad \(I\).
"meli93":
In ogni caso vi ringrazio tantissimo per la vostra disponibilità, il confronto è sempre stimolante
Prego, figurati.
Visti i tempi che corrono, dovremmo ringraziarti noi per l'impegno che metti nello studio e nel ragionare sugli input che ti diamo.
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