Condizioni di tangenza

Mith891
ciao! Sono ancora un po' dubbioso su come calcolare rette e piani tangenti a curve per cui vorrei chiedervi di controllare se il mio ragioamento è giusto.

Ho questa funzione $ f(x; y) = x^y + 2y^4 -y $ mi si chiede di determinare:

1) l'equazione del piano tangente al grafi co di f nel punto $ (1; 1; f(1; 1))^T $. Applico la formula: $ z = f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) * (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) * (y-y_0) $ e mi trovo $ z = 2x +8y -8 $

2) l'equazione della retta tangente la curva di livello $ L2 = {f(x; y)^T in RR : f(x; y) = 2 } $ nel punto $ (1; 1)^T $. Questa volta uso la formula $ y = f'(x_0)(x-x_0) + y_0 $ e ottengo

$ y = 2(x-1) + 1 $

è tutto giusto?

Risposte
j18eos
Col piano tangente mi trovo (con la formula) ma i conti non te li saprei controllare (ora!).

Il secondo punto è semplicemente sbagliato in quanto hai scritto l'equazione di un piano! :-|

Mith891
ops... ora dovrei aver capito. Leggendo vecchi thread ho scoperto che il gradiente di una funzione è perpendicolare alle curve di livello della funzione stessa. Basta quindi calcolare il gradiente di f in P. a questo punto si sa che la retta tangente è perpendicolare a questo vettore, quindi i suoi punti (x,y) saranno ortogonali a ∇f(P). Posto $ <∇f(P),(x,y)> =0 $ si ha una retta parallela alla tangente in P passante per l'origine. A questo punto basta traslarla in xP,yP. i Conti sono questi:

$ <∇f(P),(x,y)> = ( ( 2xy ),( x^2 + 8 y^3 -1 ) ) ( ( x ),(y ) ) = ( ( 1 ),(8 ) ) ( ( x ),(y ) ) = x + 8y =0 $

Traslo in xP,yP

e ottengo $ y = -1/8 x + 9/8

Ora credo che sia corretto...

j18eos
Più che altro così hai calcolato il piano tangente, dovresti trovare la retta di quel piano che t'interessa! ;)

Mith891
Ma scusa non capisco perchè quello dovrebbe essere un piano! Una retta generica non ha equazione $ y = mx + q $? La retta che ho trovato io ha equazione $ y = -1/8x + 9/8 $... non va bene?

j18eos
Errore mio! Pardon! :oops:

Pensavo che tu fossi in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]. :roll:

Mith891
meno male! se no mi cascavano le poche certezze che avevo! grazie comunque per la disponibilità.

Approfitto per farti ancora una domanda. Perl a stessa funzione mi chiedono di trovare gli estremi assoluti. Se ho ben capito dovrei studiare come si comporta la funzione a $ +oo e -oo $ dato che il dominio è tutto $ RR^2 $, e quindi dovrei fare i limiti, solo che con due variabili ovviamente no si può. I un vecchio post ho visto che basta imporre per esempio a y u valore, per esempio 1, e poi fare il limite. Se è giusto, mi sapresti dire perchè?

j18eos
Non vorrei sembrare cattivo, ma se ti fai un disegno lo capisci da solo perché non si calcolano i limiti all'infinito in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]; inoltre, se tu fissi la [tex]$y$[/tex] ad un valore [tex]$k$[/tex] studieresti la data funzione lungo la retta di equazione [tex]$y=k$[/tex].

Per concludere, fissando la [tex]$y$[/tex] riusciresti a studiare all'infinito la seguente funzione [tex]$ f(x;y)=\begin{cases}(-1)^{\min\{n;m\}}\frac{m+n}{2}\iff m\leq x
Io direi di no, sperando di non aver commesso errori e di essere stato chiaro!

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