Condizioni di tangenza
ciao! Sono ancora un po' dubbioso su come calcolare rette e piani tangenti a curve per cui vorrei chiedervi di controllare se il mio ragioamento è giusto.
Ho questa funzione $ f(x; y) = x^y + 2y^4 -y $ mi si chiede di determinare:
1) l'equazione del piano tangente al grafi co di f nel punto $ (1; 1; f(1; 1))^T $. Applico la formula: $ z = f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) * (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) * (y-y_0) $ e mi trovo $ z = 2x +8y -8 $
2) l'equazione della retta tangente la curva di livello $ L2 = {f(x; y)^T in RR : f(x; y) = 2 } $ nel punto $ (1; 1)^T $. Questa volta uso la formula $ y = f'(x_0)(x-x_0) + y_0 $ e ottengo
$ y = 2(x-1) + 1 $
è tutto giusto?
Ho questa funzione $ f(x; y) = x^y + 2y^4 -y $ mi si chiede di determinare:
1) l'equazione del piano tangente al grafi co di f nel punto $ (1; 1; f(1; 1))^T $. Applico la formula: $ z = f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) * (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) * (y-y_0) $ e mi trovo $ z = 2x +8y -8 $
2) l'equazione della retta tangente la curva di livello $ L2 = {f(x; y)^T in RR : f(x; y) = 2 } $ nel punto $ (1; 1)^T $. Questa volta uso la formula $ y = f'(x_0)(x-x_0) + y_0 $ e ottengo
$ y = 2(x-1) + 1 $
è tutto giusto?
Risposte
Col piano tangente mi trovo (con la formula) ma i conti non te li saprei controllare (ora!).
Il secondo punto è semplicemente sbagliato in quanto hai scritto l'equazione di un piano!
Il secondo punto è semplicemente sbagliato in quanto hai scritto l'equazione di un piano!
ops... ora dovrei aver capito. Leggendo vecchi thread ho scoperto che il gradiente di una funzione è perpendicolare alle curve di livello della funzione stessa. Basta quindi calcolare il gradiente di f in P. a questo punto si sa che la retta tangente è perpendicolare a questo vettore, quindi i suoi punti (x,y) saranno ortogonali a ∇f(P). Posto $ <∇f(P),(x,y)> =0 $ si ha una retta parallela alla tangente in P passante per l'origine. A questo punto basta traslarla in xP,yP. i Conti sono questi:
$ <∇f(P),(x,y)> = ( ( 2xy ),( x^2 + 8 y^3 -1 ) ) ( ( x ),(y ) ) = ( ( 1 ),(8 ) ) ( ( x ),(y ) ) = x + 8y =0 $
Traslo in xP,yP
e ottengo $ y = -1/8 x + 9/8
Ora credo che sia corretto...
$ <∇f(P),(x,y)> = ( ( 2xy ),( x^2 + 8 y^3 -1 ) ) ( ( x ),(y ) ) = ( ( 1 ),(8 ) ) ( ( x ),(y ) ) = x + 8y =0 $
Traslo in xP,yP
e ottengo $ y = -1/8 x + 9/8
Ora credo che sia corretto...
Più che altro così hai calcolato il piano tangente, dovresti trovare la retta di quel piano che t'interessa! 
Ma scusa non capisco perchè quello dovrebbe essere un piano! Una retta generica non ha equazione $ y = mx + q $? La retta che ho trovato io ha equazione $ y = -1/8x + 9/8 $... non va bene?
Errore mio! Pardon! 
Pensavo che tu fossi in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex].
Pensavo che tu fossi in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex].
meno male! se no mi cascavano le poche certezze che avevo! grazie comunque per la disponibilità.
Approfitto per farti ancora una domanda. Perl a stessa funzione mi chiedono di trovare gli estremi assoluti. Se ho ben capito dovrei studiare come si comporta la funzione a $ +oo e -oo $ dato che il dominio è tutto $ RR^2 $, e quindi dovrei fare i limiti, solo che con due variabili ovviamente no si può. I un vecchio post ho visto che basta imporre per esempio a y u valore, per esempio 1, e poi fare il limite. Se è giusto, mi sapresti dire perchè?
Approfitto per farti ancora una domanda. Perl a stessa funzione mi chiedono di trovare gli estremi assoluti. Se ho ben capito dovrei studiare come si comporta la funzione a $ +oo e -oo $ dato che il dominio è tutto $ RR^2 $, e quindi dovrei fare i limiti, solo che con due variabili ovviamente no si può. I un vecchio post ho visto che basta imporre per esempio a y u valore, per esempio 1, e poi fare il limite. Se è giusto, mi sapresti dire perchè?
Non vorrei sembrare cattivo, ma se ti fai un disegno lo capisci da solo perché non si calcolano i limiti all'infinito in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]; inoltre, se tu fissi la [tex]$y$[/tex] ad un valore [tex]$k$[/tex] studieresti la data funzione lungo la retta di equazione [tex]$y=k$[/tex].
Per concludere, fissando la [tex]$y$[/tex] riusciresti a studiare all'infinito la seguente funzione [tex]$ f(x;y)=\begin{cases}(-1)^{\min\{n;m\}}\frac{m+n}{2}\iff m\leq x
Io direi di no, sperando di non aver commesso errori e di essere stato chiaro!
Per concludere, fissando la [tex]$y$[/tex] riusciresti a studiare all'infinito la seguente funzione [tex]$ f(x;y)=\begin{cases}(-1)^{\min\{n;m\}}\frac{m+n}{2}\iff m\leq x
Io direi di no, sperando di non aver commesso errori e di essere stato chiaro!
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