Condizioni di parallelismo e perpendicolarità

[davidere]

Mi potreste dimostrare le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra retta e piano, piano e piano, retta e retta Sarebbe la dimostrazione di questa formula r//r'(l'/l)=(m'/m)=(n'=n); r perpendicolare r' (l'*l)+(m'*m)+(n'*n)=0 (dove r=(l,m,n) e r'=(l',m',n')) pi greco(piano)//pi greco(piano)(a'/a)=(b'/b)=(c'/c); pi greco(piano) perpendicolare pi greco(piano)(a'*a)+(b'*b)+(c'*c)=0 r//pi greco a*l+b*m+c*n=0 r perpendicolare pi greco a/l=b/m=c/n dove (pi greco: a*x+b*y+cz+d=0; pi greco': a'x+b'y+c'z+d'=0) Grazie per la risposta purtroppo non riesco a dimostrarle è da tempo che ci sto provando.

[Matlurker]

Presi due punti P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) della retta r, questa ha equazione:

[math]\frac{x-x_2}{x_1-x_2}=\frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{z-z_2}{z_1-z_2}[/math]

.
tale che:

[math]\begin{cases}l=x_1-x_2\\m=y_1-y_2\\n=z_1-z_2\\\end{cases}[/math]

Prendiamo il punto P3(l, m, n). Per quanto detto, la retta passante r3 per l'origine e per P3 avrà equazione:

[math]r_3: \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}[/math]

Prendiamo ora la retta r'. Analogamente a quanto detto prima, la retta r4, passante per l'origine e per P4(l', m', n'), ha equazione:

[math]r_4: \frac{x}{l'}=\frac{y}{m'}=\frac{z}{n'}[/math]

Ora, r ed r' sono parallele se:

[math]r_3 \equiv r_4 \Longrightarrow\\
\Longrightarrow \begin{cases}\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{x}{l'}=\frac{y}{m'}\\\frac{x}{l}=\frac{z}{n}=\frac{x}{l'}=\frac{z}{n'}\\\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}\frac{l}{l'}=\frac{m}{m'}\\\frac{l}{l'}=\frac{n}{n'}\end{cases}\quad \blacksquare[/math]

Utilizzando i dati già espressi:

[math]\vec v_3= \vec {OP_3}=l \vec i + m \vec j + n \vec k[/math]

ecc, dove, i, j, k sono versori e

[math]\cos {\widehat{xr}}= \frac {l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}[/math]

ecc.

Allora r ed r' sono perpendicolari sse

[math]\vec v \cdot \vec v'=0 \Longleftrightarrow \cos {\widehat{rr'}}=\frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \cdot \sqrt{l'^2+m'^2+n'^2}}=0 \Longrightarrow ll'+mm'+nn'=0\quad \blacksquare[/math]

ecc

Edit: corretta dimenticanza norma r'