Condizioni di Integrabilità
Salve ragazzi ho un po' di dubbi per quanti riguarda le condizioni di integrabilità.
Io so che una funzione ammettono primitive sono:
- Le funzioni continue
- Alcune funzioni con punti di discontinuità di 3° specie.
La mie domande sono:
Esiste qualche teorema (con eventuale dimostrazione che mi garantisce che tutte le funzioni continue ammettono primitive)?
Le funzioni con punto di discontinuità di 3° specie che ammettono primitive, sono sempre funzioni prolungabili per continuità?
L'unico teorema che ho trovato che mi dimostra che una funzione continua ammette primitive è quello riguardo l'integrale di riemann.
l'integrale di Riemann tuttavia è integrabile per:
- Le funzioni continue (con annesso teorema a cui faccio riferimento)
- Le funzioni generalmente continue e limitate
- Le funzioni monotone
Essendo l'integrale di Riemann un concetto più forte dell'integrale indefinito, allora quel teorema sulle funzioni continue vale anche per l'integrale indefinito?
E se l'integrale di Riemann è un concetto più forte, come fanno le funzioni generalmente continue ad ammettere primitive?
Credo che chi avrà il cuore di rispondere debba avere una pazienza enorme perché credo di aver sbagliato almeno la metà delle cose che ho detto
Io so che una funzione ammettono primitive sono:
- Le funzioni continue
- Alcune funzioni con punti di discontinuità di 3° specie.
La mie domande sono:
Esiste qualche teorema (con eventuale dimostrazione che mi garantisce che tutte le funzioni continue ammettono primitive)?
Le funzioni con punto di discontinuità di 3° specie che ammettono primitive, sono sempre funzioni prolungabili per continuità?
L'unico teorema che ho trovato che mi dimostra che una funzione continua ammette primitive è quello riguardo l'integrale di riemann.
l'integrale di Riemann tuttavia è integrabile per:
- Le funzioni continue (con annesso teorema a cui faccio riferimento)
- Le funzioni generalmente continue e limitate
- Le funzioni monotone
Essendo l'integrale di Riemann un concetto più forte dell'integrale indefinito, allora quel teorema sulle funzioni continue vale anche per l'integrale indefinito?
E se l'integrale di Riemann è un concetto più forte, come fanno le funzioni generalmente continue ad ammettere primitive?
Credo che chi avrà il cuore di rispondere debba avere una pazienza enorme perché credo di aver sbagliato almeno la metà delle cose che ho detto
Risposte
Non ne so molto e lascio che ti risponda chi è più esperto, mi limito a fare due osservazioni.
Per una funzione essere integrabile o ammettere primitiva sono due cose molto (ma molto!) diverse. Ad esempio \(e^{-x^2}\) è integrabile in \(\mathbb{R}\) ma non ammette primitiva.
Poi, per esperienza personale, credo che il quadro completo di queste cose si abbia studiando teoria della misura. Inoltre, alcuni delicati legami tra funzioni e le loro primitive si possono vedere in contesti più avanzati (vedi teoria delle distribuzioni e il gradino di Heaviside).
Detto ciò seguirò con attenzione le risposte che ti daranno che sicuramente mi insegneranno qualcosa.
Per una funzione essere integrabile o ammettere primitiva sono due cose molto (ma molto!) diverse. Ad esempio \(e^{-x^2}\) è integrabile in \(\mathbb{R}\) ma non ammette primitiva.
Poi, per esperienza personale, credo che il quadro completo di queste cose si abbia studiando teoria della misura. Inoltre, alcuni delicati legami tra funzioni e le loro primitive si possono vedere in contesti più avanzati (vedi teoria delle distribuzioni e il gradino di Heaviside).
Detto ciò seguirò con attenzione le risposte che ti daranno che sicuramente mi insegneranno qualcosa.
Ok, credo che l'integrale di riemann allora abbiamo poco che spartire con quello che è l'integrale indefinito e il concetto di "dotata di primitive".
Comunque rimangono le domande precedentemente fatte, ignorando quelle sull'integrazione di riemann.
Comunque Grazie Emar per la risposta!
Comunque rimangono le domande precedentemente fatte, ignorando quelle sull'integrazione di riemann.
Comunque Grazie Emar per la risposta!
@ Emar:
Falso.
A norma del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, le primitive di \(f(x):=e^{-x^2}\) sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
F(x) := C+\int_0^x e^{-t^2}\ \text{d} t\; ,
\]
con \(C\in \mathbb{R}\).
Tuttavia, vero è che la funzione \(f\) non ammette primitive esprimibili elementarmente (cioé, esprimibili usando somme/prodotti/composizioni di funzioni elementari) perché l'integrale indefinito \(\int e^{-t^2}\text{d} t\) non è elementarmente calcolabile... Ma ciò è ben diverso dal non ammettere primitive in assoluto.
@ emavgl:
Un teorema di Darboux ti assicura che la derivata \(\phi^\prime\) di una funzione \(\phi\) derivabile all'interno di un intervallo \((a,b)\) gode della cosiddetta proprietà dei valori intermedi (PVI), cioé:
\[
\forall \alpha<\beta \in ]a,b[,\ \forall \min \{f(\alpha ),f(\beta)\} \leq \lambda \leq \max \{ f(\alpha) , f(\beta)\},\ \exists c\in (\alpha, \beta) :\quad \phi^\prime (c)=\lambda
\]
(ovvero, la funzione \(\phi^\prime\) assume su ogni sottointervallo non degenere \([\alpha , \beta]\subset (a,b)\) tutti i valori compresi tra \(f(\alpha)\) ed \(f(\beta)\)).
Conseguentemente, ogni funzione che ammetta primitive deve necessariamente godere della PVI.
Il viceversa, però, non è vero (se non ricordo male).
Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
No.
La funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x) := \begin{cases} 2x\ \sin \frac{1}{x} -\cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
non si prolunga su \(0\) epperò ha come primitiva la funzione:
\[
F(x) := \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0\; .
\end{cases}
\]
???
Non è "un concetto più forte"; è proprio una cosa diversa.
Non capisco la domanda.
"Emar":
Ad esempio \(e^{-x^2}\) è integrabile in \(\mathbb{R}\) ma non ammette primitiva.
Falso.
A norma del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, le primitive di \(f(x):=e^{-x^2}\) sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
F(x) := C+\int_0^x e^{-t^2}\ \text{d} t\; ,
\]
con \(C\in \mathbb{R}\).
Tuttavia, vero è che la funzione \(f\) non ammette primitive esprimibili elementarmente (cioé, esprimibili usando somme/prodotti/composizioni di funzioni elementari) perché l'integrale indefinito \(\int e^{-t^2}\text{d} t\) non è elementarmente calcolabile... Ma ciò è ben diverso dal non ammettere primitive in assoluto.
@ emavgl:
"emavgl":
Io so che una funzione ammettono primitive sono:
- Le funzioni continue
- Alcune funzioni con punti di discontinuità di 3° specie.
Un teorema di Darboux ti assicura che la derivata \(\phi^\prime\) di una funzione \(\phi\) derivabile all'interno di un intervallo \((a,b)\) gode della cosiddetta proprietà dei valori intermedi (PVI), cioé:
\[
\forall \alpha<\beta \in ]a,b[,\ \forall \min \{f(\alpha ),f(\beta)\} \leq \lambda \leq \max \{ f(\alpha) , f(\beta)\},\ \exists c\in (\alpha, \beta) :\quad \phi^\prime (c)=\lambda
\]
(ovvero, la funzione \(\phi^\prime\) assume su ogni sottointervallo non degenere \([\alpha , \beta]\subset (a,b)\) tutti i valori compresi tra \(f(\alpha)\) ed \(f(\beta)\)).
Conseguentemente, ogni funzione che ammetta primitive deve necessariamente godere della PVI.
Il viceversa, però, non è vero (se non ricordo male).
"emavgl":
La mie domande sono:
Esiste qualche teorema (con eventuale dimostrazione che mi garantisce che tutte le funzioni continue ammettono primitive)?
Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
"emavgl":
Le funzioni con punto di discontinuità di 3° specie che ammettono primitive, sono sempre funzioni prolungabili per continuità?
No.
La funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x) := \begin{cases} 2x\ \sin \frac{1}{x} -\cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
non si prolunga su \(0\) epperò ha come primitiva la funzione:
\[
F(x) := \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0\; .
\end{cases}
\]
"emavgl":
L'unico teorema che ho trovato che mi dimostra che una funzione continua ammette primitive è quello riguardo l'integrale di riemann.
l'integrale di Riemann tuttavia è integrabile [...]
???
"emavgl":
[...] per:
- Le funzioni continue (con annesso teorema a cui faccio riferimento)
- Le funzioni generalmente continue e limitate
- Le funzioni monotone
Essendo l'integrale di Riemann un concetto più forte dell'integrale indefinito, allora quel teorema sulle funzioni continue vale anche per l'integrale indefinito?
Non è "un concetto più forte"; è proprio una cosa diversa.
"emavgl":
E se l'integrale di Riemann è un concetto più forte, come fanno le funzioni generalmente continue ad ammettere primitive?
Non capisco la domanda.
"gugo82":
@ Emar: [quote="Emar"]Ad esempio \(e^{-x^2}\) è integrabile in \(\mathbb{R}\) ma non ammette primitiva.
Falso.
A norma del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, le primitive di \(f(x):=e^{-x^2}\) sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
F(x) := C+\int_0^x e^{-t^2}\ \text{d} t\; ,
\]
con \(C\in \mathbb{R}\).
Tuttavia, vero è che la funzione \(f\) non ammette primitive esprimibili elementarmente (cioé, esprimibili usando somme/prodotti/composizioni di funzioni elementari) perché l'integrale indefinito \(\int e^{-t^2}\text{d} t\) non è elementarmente calcolabile... Ma ciò è ben diverso dal non ammettere primitive in assoluto.[/quote]
Hai ragione, come sempre
, ho portato l'esempio sbagliato. In effetti riguardando adesso essendo la funzione continua non c'è scappatoia, ammette primitiva! Era un tentativo per sottolineare che ammettere primitiva e essere integrabile sono due concetti molto diversi che, quasi per magia, si incontrano in quello che è il TFCI (e le sue estensioni).Continuerò a seguire con interesse la discussione, non sono troppo ferrato in queste cose.
Risposta fantastica. Quindi, ricapitolando:
Una funzione ammette primitive e integrale di Riemann sono due cose totalmente differenti.
E la risposta alla mia domanda "qual'era il teorema che mi garantisce che tutte le funzioni continue ammettono primitive" è il teorema fondamentale, che dice che:
data una funzione $ f : [a, b] -> R $ continua, questa allora per le condizioni di integrabilità è R-integrabile.
Ma essendo la nostra funzione R-integrabile possiamo allora costruire la funzione integrale $ int_(a)^x f(t) $
La funzione integrale essendo derivabile in ogni punto di $ [a, b] $ la sua derivata è proprio la nostra funzione f(t).
Spero sia tutto giusto
Una funzione ammette primitive e integrale di Riemann sono due cose totalmente differenti.
E la risposta alla mia domanda "qual'era il teorema che mi garantisce che tutte le funzioni continue ammettono primitive" è il teorema fondamentale, che dice che:
data una funzione $ f : [a, b] -> R $ continua, questa allora per le condizioni di integrabilità è R-integrabile.
Ma essendo la nostra funzione R-integrabile possiamo allora costruire la funzione integrale $ int_(a)^x f(t) $
La funzione integrale essendo derivabile in ogni punto di $ [a, b] $ la sua derivata è proprio la nostra funzione f(t).
Spero sia tutto giusto
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