Condizioni di derivabilità di $f(x,y)$

[frons79]

Discutere la derivabilità di \(\displaystyle f(x,y)=\lvert y-x^2 \rvert y^2 \) nel suo dominio.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Potete aiutarmi a capire come si procede con esercizi come questo, visto che è la prima volta che mi capita?

[frons79]

Per quello che ho capito:
\[
\text{Caso} \, \lvert y-x^2 \rvert y^2>0 \\
f(x,y) = y^3-x^2y^2 \\
f_x(x,y)=-2xy^2 \\
f_y(x,y)=3y^2-2x^2y \\
D_{f_x(x,y)}= \mathbb R \\
D_{f_y(x,y)}= \mathbb R
\]
\[
\text{Caso} \, \lvert y-x^2 \rvert y^2<0 \\
f(x,y) = x^2 y^2 -y^3 \\
f_x(x,y)=2x^2y-3y^2 \\
f_y(x,y)=2xy^2 \\
D_{f_x(x,y)}= \mathbb R \\
D_{f_y(x,y)}= \mathbb R
\]
\[
\text{Caso} \, \lvert y-x^2 \rvert y^2=0 \\
f(x,y) = y-x^2=0 \\
f_x(x,y)= f_y(x,y)=0 \\
D_{f_x(x,y)}= 0 \\
D_{f_y(x,y)}= 0
\]
E' giusto? E poi?