Condizioni di Cauchy-Riemann

[darinter]

Volevo chiedervi se la seguente dimostrazione delle condizioni di Cauchy-Riemann è corretta:
Sia $f$ una funzione complessa di variabile complessa definita in un aperto $A$ del piano complesso,sia,inoltre,$f$ derivabile nel punto $z_0 in A$,allora:
$f'(z_0)=f_x(z_0)=1/j f_y(z_0)$
Dimostrazione:
sia $z=x+jy in A$ e $z_0=x_0+jy_0$,osserviamo che $z-z_0=(x-x_0)+j(y-y_0)$ e quindi dire che $z->z_0$ equivale a dire che:
$x->x_0$ sulle ascisse
$y->y_0$ sulle ordinate
quindi:
$lim_(z->z_0) (f(z)-f(z_0))/(z-z_0)=lim_(x->x_0)(f(z)-f(z_0))/(x-x_0)=f_x(z_0)=(1/j)lim_(y->y_0)(f(z)-f(z_0))/(y-y_0)=(1/j)f_y(z_0)$
ma è giusto?non sono convinto di quest'ultima eguaglianza.

Grazie

[gugo82]

Poni $Deltaz:=z-z_0$; se esiste finito $f'(z_0):=lim_(Deltaz\to 0) (f(z_0+Deltaz)-f(z_0))/(Deltaz)$ allora puoi scegliere di far variare $Deltaz=Deltax+iDeltay$ come più ti piace intorno a $0$: in particolare puoi prendere $Deltaz=Deltax$ (incremento immaginario nullo) oppure $Deltaz=iDeltay$ (incremento reale nullo) ed ottenere:

$(\partial f)/(\partial x)(z_0)=lim_(Deltax \to 0) (f(z_0+Deltax)-f(z_0))/(Deltax)=f'(z_0)\quad$,
$(\partial f)/(\partial y)(z_0)=lim_(Deltay \to 0) i*(f(z_0+iDeltay)-f(z_0))/(iDeltay)=i*f'(z_0)\quad $.

Trovate queste due relazioni puoi concludere.