Condizioni al contorno PDE

[cinclus]

Ho un altro dubbio riguardante le PDE



Una volta trovata la forma canonica $\u_(etaeta)=0$ e dove $\xi=y-x$ e $\eta=y+x$
Come faccio a trasformare le condizioni al contorno in funzione delle nuove variabili?
E' una domanda abbastanza idiota ma non riesco a vederne la soluzione.

[D4lF4zZI0]

Ricontrollando bene ( a dire il vero me ne dovevo accorgere prima ), non è quella la forma canonica della equazione assegnata. Ricalcola le curve caratteristiche

[gugo82]

La forma canonica è del tipo \(u_{\xi \eta}(\xi ,\eta) =0\), come ci si aspetta da un'equazione iperbolica standard come quella delle onde.
La soluzione dell'equazione in f.c. è evidentemente del tipo:
\[
u(\xi, \eta) = \Xi (\xi) + H(\eta)\; ,
\]
ergo la soluzione del problema iniziale è:
\[
u(x,y) = \Xi (y-x) + H(y+x)\; ,
\]
ed è a questa funzione che conviene imporre le condizioni iniziali.
Imponendole, trovi:
\[
\begin{cases}
\Xi (-x) + H(x) = 1\\
\Xi^\prime (-x) + \dot{H} (x) =0
\end{cases}
\]
che non è un sistema a soluzione unica: ad esempio tutte le funzioni costanti del tipo:
\[
\Xi(\cdot; C) =C \text{ e } H(\cdot; C) = 1-C
\]
soddisfano banalmente il sistema di cui sopra.

[cinclus]

Si, avevo sbagliato a ricopiare dagli appunti ed effettivamente non avevo ragionato sul significato della soluzione.
Ma quindi questo significa che $\u(xi, eta)= (1-C)eta +C xi$ è la famiglia di soluzioni dell'equazione?

Grazie ancora, purtroppo ingegneria non sempre ti fa capire la matematica che c'è dietro

[D4lF4zZI0]

Non dire stupidaggini!!! Da ingegnere ti dico che a ingegneria fanno capire bene la matematica.

[cinclus]

Quando ho fatto la triennale in Italia di sicuro ma all'estero non si soffermano su un sacco di nozioni che ritengono non fondamentali e si concentrano sulla parte operativa

[D4lF4zZI0]

Vabbè, ma ora hai capito come risolvere l'equazione differenziale?

[cinclus]

Sisi, grazie!
Dubbio risolto