Condizione sufficiente funzioni analitiche

[robe921]

Stavo studiando sul libro le serie di potenze e sono incappato nella condizione sufficiente per le funzioni analitiche. Riporto la definizione di funzione analitica:

Una funzione $f(x)$ si dice analitica in $(a,b)$ se per ogni $x_0 \in (a,b)$ la funzione è esprimibile in serie di potenze di centro $x_0$ e raggio $R>0$

Se una funzione è esprimibile in serie di potenze allora sarà $C^{\infty}$, ovvero derivabile indefinitamente con tutte le derivate continue e aventi stesso centro $x_0$ e raggio di convergenza $R$ per il teorema di derivabilità termine a termine della serie e per le note proprietà delle serie di potenze. Perciò:

$f \text{analitica} \implies f \in C^{\infty}$

Il viceversa non è, in generale, vero, ma lo diventa se viene soddisfatta una determinata condizione sufficiente (da qui l'oggetto), ovvero che

$|f^{(n)}(x)| \le k$

$\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in A\subseteq \mathbb{R}, k \in \mathbb{R}^+ $

Potreste spiegarmi questa condizione e il perché diventa sufficiente per la doppia implicazione $f \text{analitica} \leftrightarrow f \in C^{\infty}$?

Vi ringrazio in anticipo

[gugo82]

Innanzitutto, nota che se \(f\in C^\omega(]a,b[)\) (\(C^\omega\) è il simbolo che denota la classe delle funzioni analitiche), allora, per ogni punto \(x_0\in ]a,b[\), la serie di potenze \(\sum a_n (x-x_0)^n\) che dà per somma \(f\) intorno a \(x_0\) (tale serie è usualmente detta elemento analitico di \(f\) centrato in \(x_0\)) coincide necessariamente con la serie di Taylor di \(f\) centrata in \(x_0\): in altre parole hai il seguente teorema:

Se \(f\in C^\omega (]a,b[)\) ed \(x_0\in ]a,b[\), allora l'elemento analitico di \(f\) centrato in \(x_0\) coincide con lo sviluppo di \(f\) in serie di Taylor centrato in \(x_0\).

Viceversa, se \(f\in C^\infty(]a,b[)\) e se, per ogni \(x_0\in ]a,b[\), la serie di Taylor di \(f\) centrata in \(x_0\) ha raggio di convergenza non nullo, allora \(f\in C^\omega (]a,b[)\).

Quindi, se \(f\in C^\omega (]a,b[)\), si ha:
\[
f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\ (x-x_0)^n
\]
intorno ad ogni \(x_0\in ]a,b[\) e viceversa.

Ora, se \(f\in C^\infty (]a,b[)\) ha le derivate equilimitate in \(]a,b[\), i.e. se esiste \(M\geq 0\) tale che:
\[
\tag{E}
\forall n\in \mathbb{N},\qquad |f^{(n)}(x)|\leq M \quad \text{ per ogni } x\in ]a,b[\; ,
\]
allora la serie di Taylor di \(f\) centrata in \(x_0\) ha un raggio di convergenza \(>0\) per ogni \(x_0\in ]a,b[\); e dunque \(f\) è analitica in \(]a,b[\).

Tuttavia, la condizione di equilimitatezza delle derivate (E) è troppo stringente e può essere generalizzata com segue:

Se \(f\in C^\infty(]a,b[)\) e se, per ogni \(x_0\in ]a,b[\), esistono delle costanti \(M=M(x_0)\geq 0\) e \(c=c(x_0)> 0\) tali che:
\[
\tag{C} \forall n\in \mathbb{N}, \qquad |f^{(n)}(x_0)|\leq M\ n!\ c^n
\]
allora \(f\in C^\omega(]a,b[)\).

Infatti si vede subito che, se la successione numerica \((f^{(n)}(x_0))\) soddisfa la stima di crescita (C), allora la serie di Taylor \(\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\ (x-x_0)^n\) ha raggio di convergenza \(\rho(x_0)>0\) per ogni \(x_0\in ]a,b[\). Per vedere ciò, basta applicare il criterio della radice, notando che se vale la (C) allora si ha:
\[
\sqrt[n]{\frac{|f^{(n)}(x_0)|}{n!}}\leq \sqrt[n]{M}\ c\qquad \Rightarrow \qquad \limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{|f^{(n)}(x_0)|}{n!}}\leq \limsup_{n\to \infty }\sqrt[n]{M}\ c \leq c
\]
(nell'ultima disuguaglianza vale l'uguale se \(M>0\)), quindi \(\rho(x_0)\geq\frac{1}{c}\) per il teorema di Cauchy-Hadamard.