Condizione per differenziabilità in un punto

[Studente Anonimo]

Sia \( f : E \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) e \( x_0 \in E^{\circ} \) (non so come fare il circ sopra la \( E \), ma sostanzialmente è l' interno ad \(E \) ). Se esiste \( \delta >0 \) tale che le derivate parziali \( \frac{ \partial f}{\partial x_i } (x) \) esistono per tutti gli \( x \in B(x_0,\delta) \) e sono continue in \( x_0 \) allora \( f \) è differenziabile in \( x_0 \).

Io mi domandavo una cosa supponiamo che abbiamo l'esistenza di un \( \delta \), se prendo un qualunque \( \tilde{\delta} < \delta \) allora il mio teorema è ancora valido, è automaticamente vero che \( f \) è differenziabile anche per tutti gli \( \tilde{x} \in B(x_0, \delta-\tilde{\delta} ) \) ?? O devo verificare comunque che le derivate parziali sono continue in \( \tilde{x} \) ?
Inoltre non comprendo benissimo alcune cose della dimostrazione

Dimostrazione:
Per allegerire la notazione, rinominiamo \( x_0 = a =(a_1,\ldots,a_n) \). Per un \( x=(x_1,\ldots,x_n) \) dato, introduciamo la notazione \( x^k = (x_1, \ldots, x_k, a_{k+1},\ldots, a_n ) \) in modo tale che \( x^n = x \) e \( x^0 = a \). La differenza \( f(x)-f(a) \) può essere scritta come somma telescopica
\[ f(x)-f(a) = \sum\limits_{k=1}^{n} f(x^k) - f(x^{k-1} ) \]
Per il teorema di Lagrange (o incremento finito) abbiamo che per \(\forall k =1,\ldots,n \) esiste \( \theta_k \in ]0,1[ \) tale che
\[ f(x^k ) - f(x^{k-1} ) = \frac{\partial f}{\partial x_k} (x_1, \ldots, x_{k-1},a_k + \theta_{k}(x_k -a_k), a_{k+1},\ldots,a_n)(x_k-a_k) \]
\[= \frac{\partial f}{\partial x_k} (x^{k-1} + \theta_k(x^k - x^{k-1}))(x_k-a_k) \]

1) Primo dubbio, come mai è lecito utilizzare il teorema di lagrange? Chi mi dice che la funzione è continua? È nelle ipotesi che le derivate parziali sono continue in un intorno di \( a \) e questo fa automaticamente di \( f \) continua in quell intorno?
2) Secondo dubbio, quando lui nomina \( x=(x_1,\ldots,x_n) \) sono degli \( x_i \) diversi dagli \( x_i \) utilizzati per indicare la direzione di derivazione parziale \( \partial x_i \) ? Nel primo caso sono le componenti di un vettore arbitrario e nel secondo i vettori di base di \( \mathbb{R}^n \) ?
Continuo per completare la dimostrazione anche se tutto quanto viene qui di seguito ho capito.
Poiche le derivate parziali sono continue in \(a\) abbiamo che
\[g_k(x):= \frac{\partial f}{\partial x_k} (x^{k-1} + \theta_k(x^k - x^{k-1}))-\frac{\partial f}{\partial x_k}(a) \overset{x \rightarrow a}{\rightarrow}0 \]

In effetti per continuità di \( \frac{\partial f}{\partial x_k} \) in \( a \) implica che
\[ \forall \epsilon >0 , \exists \delta >0 : \begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_k} (y) - \frac{\partial f}{\partial x_k} (a) \end{vmatrix} \leq \epsilon , \forall \begin{Vmatrix} y-a \end{Vmatrix} < 2\delta \]

Sia \( y(x) = x^{k-1} + \theta_k (x^{k} - x^{k-1} ) \) abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix} y(x)-a \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} (1-\theta_k)(x^{k-1} -a)+ \theta_k(x^k -a) \end{Vmatrix}\leq \begin{Vmatrix} x^{k-1} -a \end{Vmatrix}+ \begin{Vmatrix} x^{k} -a \end{Vmatrix} \leq 2 \begin{Vmatrix} x -a \end{Vmatrix} \]

Dunque
\[ \forall \epsilon >0 , \exists \delta >0 : \forall \begin{Vmatrix} y-a \end{Vmatrix} < \delta, \begin{vmatrix} g_k(x) \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_k} (y(x)) - \frac{\partial f}{\partial x_k} (a) \end{vmatrix} \leq \epsilon \]

Questo implica che \( \lim\limits_{x\rightarrow a } g_k(x) = 0 \) per tutti i \( k=1,\ldots,n \) inoltre
\[ f(x)-f(a) = \sum\limits_{k=1}^{n} f(x^k) - f(x^{k-1} )= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_k} (x^{k-1} + \theta_k(x^k - x^{k-1}))(x_k-a_k)=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_k} (a)(x_k-a_k)+g_k(x)(x_k-a_k)=Df(a) \cdot (x-a)+g(x) \]

Con \( g(x)=\sum_{k=1}^{n} g_k(x)(x_k-a) \). Per l'inegalità di Cauchy Schwarz abbiamo inoltre
\( \begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix} \leq \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{n} g_k(x)^2 \end{pmatrix}^{1/2 } \begin{Vmatrix} x- a \end{Vmatrix} \) e dunque
\[ \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{ \begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix}}{ \begin{Vmatrix} x- a \end{Vmatrix}} \leq \lim\limits_{x \rightarrow a} \sqrt{\sum_{k=1}^{n} g_k(x)^2} = 0 \]
Che dimostra dunque \( g(x)= o(\begin{Vmatrix} x- a \end{Vmatrix}) \)
C.V.D

[dissonance]

"3m0o":se prendo un qualunque \( \tilde{\delta} < \delta \) allora il mio teorema è ancora valido, è automaticamente vero che \( f \) è differenziabile anche per tutti gli \( \tilde{x} \in B(x_0, \delta-\tilde{\delta} ) \) ?? O devo verificare comunque che le derivate parziali sono continue in \( \tilde{x} \) ?

Esatto. Se le derivate esistono e sono continue in tutto un aperto, allora tranquillamente la funzione è differenziabile in tutto l'aperto. Ma le derivate potrebbero esistere in un aperto, ed essere continue solo in un punto; in tal caso, avrai la differenziabilità solo in quel punto.

(In realtà, immagino che se le derivate esistano in tutto un aperto allora esse dovranno per forza essere continue in un insieme più grande che un punto solo. Ma questi sono teoremi difficili, basati sulla teoria di Baire).

1) Primo dubbio, come mai è lecito utilizzare il teorema di lagrange? Chi mi dice che la funzione è continua? È nelle ipotesi che le derivate parziali sono continue in un intorno di \( a \) e questo fa automaticamente di \( f \) continua in quell intorno?

Nessuno ha detto che \(f\) è continua; ma qui stai ragionando sulla restrizione di \(f\) al segmento \(\{(x_1, \ldots, x_i+t, \ldots, x_n)\ :\ t\in (-\epsilon, \epsilon)\}\). Questa è una funzione di una sola variabile, derivabile, quindi anche continua e si possono applicare tutti i teoremi del calcolo di una variabile che vogliamo.

ATTENZIONE! Se \(f\) è continua, allora anche le restrizioni di \(f\) ai segmenti sono continue. Ma non vale il viceversa. Potrebbe darsi che \(f(x_1, \ldots, x_i+t, \ldots, x_n)\) sia una funzione continua della \(t\) per ogni \(i\), ma che \(f\) non sia una funzione continua.

2) Secondo dubbio, quando lui nomina \( x=(x_1,\ldots,x_n) \) sono degli \( x_i \) diversi dagli \( x_i \) utilizzati per indicare la direzione di derivazione parziale \( \partial x_i \) ? Nel primo caso sono le componenti di un vettore arbitrario e nel secondo i vettori di base di \( \mathbb{R}^n \) ?

Classico dubbio. Scrivere \(\frac{\partial}{\partial x_i}\), dal punto di vista strettamente formale, non è proprio correttissimo; sarebbe meglio scrivere \(D_1, D_2, \ldots, D_n\), oppure \(\partial_1, \partial_2, \ldots, \partial_n\), proprio per evitare questo genere di confusione. Ma \(\partial/\partial x_i\) è una scrittura comodissima, specialmente quando poi dovrai introdurre più sistemi di coordinate e usare la regola della catena.

[Studente Anonimo]

Grazie, e solo un ultima curiosità. A differenza del caso unidimensionale, una funzione di \( \mathbb{R}^n \) derivabile in un punto non è necessariamente continua in quel punto, se fosse differenziabile in punto quel punto invece si! Quindi fondamentalmente questo teorema dimostra non solo la differenziabilità, che è più forte ma anche la continuità in quel punto, è corretto?

[dissonance]

Si, è corretto.