Condizione necessaria(Primo ordine)

[anima123]

Se una funzione f è definita in un insieme A ed è derivabile in un punto $(x_0,y_0)$, di massimo o minimo relativo per f, interno all'insieme A, allora il gradiente di f si annulla in $(x_0,y_0)$.

DIM :

Ho ragionato in questo modo. Ammettiamo che $(x_0,y_0)$ sia un punto di max relativo. Quindi abbiamo $f(x_0,y_0)>=f(x,y)$. Ora, supponiamo y costante e quindi trasformiamo la funzione in una sola variabile x. Essendo il punto di massimo relativo, in quel punto la tangente sarà sicuramente orizzontale rispetto all'asse x. Per cui la derivata è sicuramente 0 (poichè l'angolo $\theta$ formato con l'asse x vale 0, e quindi essendo la derivata per definizione $\tan \theta$).Si ha quindi che la derivata parziale rispetto ad x vale 0. Lo stesso discorso lo facciamo per y, e per un punto di minimo relativo. E' quindi normale che, il gradiente, in tali punti, è nullo, poichè le derivate parziali sono nulle.

Che ne pensate? Cioè non c'è bisogno di fare calcoli sui punti o altre cose. Basta semplicemente ragionare sul concetto di derivata.

[dissonance]

Va bene.