Condizione necessaria per minimo relativo in \mathbb{R}^n

[Sk_Anonymous]

Siano $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $x_0$ interno ad $A$ un punto di minimo relativo e $f \in C^2(A)$. Allora $H_{f} (x_0)$ è semidefinita positiva.
Non ne ho ben capito la dimostrazione. Mi aiutate?
Solite considerazioni su quale raggio scegliere per l'intorno del punto, che ormai so fare e su Latex è troppo lungo da scrivere...
Per il Teorema di Taylor e per l'ipotesi di punto di minimo so che $f(x_0+tv)-f(x_0)=<\nabla f(x_0),tv>+1/2 +R \geq 0$.
Dividendo il tutto per $||tv||^2=(|t| \cdot ||v||)^2=t^2$ (perché $v$ è un versore), che è una quantità positiva, ottengo una disuguaglianza con lo stesso verso.
\[\frac{<\nabla f(x_0),tv>}{t^2}+\frac{1}{2}\frac{}{t^2}+\frac{R}{t^2} \geq 0\]
Il primo termine tende a $0$ [size=150](perché?)[/size], così come l'ultimo (per come è definito il resto). Allora mi rimane che
\[\lim_{t \to 0} \frac{}{t^2} = \geq 0 \]
e, per il Teorema della Permanenza del Segno, ottengo la tesi.

[gugo82]

Il primo addendo è zero (non "tende a zero") perché di fatto \(\nabla f(x_0)=(0,\ldots ,0)\) per il teorema di Fermat (sei nell'ipotesi in cui \(x_0\) è di minimo ed \(f\) è regolare).

Quindi nello scrivere lo sviluppo di Taylor di \(f\) lungo il segmento \(x_0+tv\) il termine di grado \(1\) si può benissimo omettere (e questo risponde anche all'analogo quesito posto nell'altro thread).

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Il primo addendo è zero (non "tende a zero") perché di fatto \(\nabla f(x_0)=(0,\ldots ,0)\) per il teorema di Fermat (sei nell'ipotesi in cui \(x_0\) è di minimo ed \(f\) è regolare).

Quindi nello scrivere lo sviluppo di Taylor di \(f\) lungo il segmento \(x_0+tv\) il termine di grado \(1\) si può benissimo omettere (e questo risponde anche all'analogo quesito posto nell'altro thread).

Ok, grazie mille!
Però ho ancora un dubbio riguarda all'altra discussione, che riporto tra pochi minuti.