Condizione Necessaria e/o Sufficiente per la convergenza

[Turidduz]

Salve a tutti,

Da qualche giorno mi scervellavo su dei quesiti che non riesco proprio a digerire.Ve li posto,uno ad uno,
Iniziano tutti allo stesso modo,ciò che cambia è l'ultima parte,e la risposta da selezionare è "Solo Necessaria"/"Solo sufficiente" /"necessaria e sufficiente"/ " ne necessaria ne sufficiente":

Sia {an} una successione di numeri positivi.La condizione:

1) "a0 + (a1 + a2) + (a3 + a4 + a5) +..." è Necessaria ( è questa dovrebbe essere la più semplice,in quanto è la condizione necessaria per la convergenza di una serie!") affinche la serie \sum a_{n} sia convergente.

2)\(\displaystyle "\sum \left (\sqrt{n} \right )a_{n} \) " è... (la soluzione è Sufficiente,ma non capisco perchè!) affinche la \(\displaystyle serie \sum a_{n} \) sia convergente.

3)"\(\displaystyle \sum (1+2/n)^n a_{n} \)" è (necessarria e sufficiente) affinche la serie \(\displaystyle \sum a_{n} \) sia convergente.

ne ho altri..ma già mi basta non capire perchè il 2 e il 3 funzionino in questo modo.
Spero qualcuno mi possa aiutare,Grazie mille!!

[gugo82]

Per 2 e 3, userei il criterio del confronto e del confronto asintotico.

Per 1, che la condizione sia necessaria è evidente; d'altra parte, essa non è affatto sufficiente, come puoi vedere costruendo qualche semplice controesempio.

[Turidduz]

Certo,Il classico controesempio sulla sua non sufficienza è lo studio della serie armonica!

Per 2 e 3 come si potrebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico (e/o confronto) se la serie an è generica?Mi resta il dubbio,forse (come nel caso del terzo caso) il fatto che per n->infinto \(\displaystyle \sum (1+2/n)^n \) sia \(\displaystyle e^2 \) da qualche informazioni in più..

[gugo82]

"Turiz":Certo,Il classico controesempio sulla sua non sufficienza è lo studio della serie armonica!

Non credo.

E, comunque, rileggendolo il testo di 1 sembra incompleto.

"Turiz":Per 2 e 3 come si potrebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico (e/o confronto) se la serie an è generica? Mi resta il dubbio,forse (come nel caso del terzo caso) il fatto che per n->infinto \(\displaystyle \sum (1+2/n)^n \) sia \(\displaystyle e^2 \) da qualche informazioni in più..

Non capisco come la "genericità di \(a_n \)" possa inficiare un risultato ottenuto applicando un teorema.

Ad esempio, hai \(0

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[Turidduz]

Si, il testo completo della prima è:

"Sia \(\displaystyle a_{n}\) una successioni di numeri reali. La condizione

"La serie a0 + (a1 + a2 ) + (a3 + a4 + a5) + (a6 + a7 + a8 + a9)+.... è convergente" é Necessaria ma non sufficente affichè
la serie \(\displaystyle \sum a_{n} \) Sia convergente.

Ciò che non capisco è:

"il limite della successione del termine generale è infinitesima " è una condizione necessaria ma non sufficiente
L'applicazione di un Criterio è una condizione sufficiente ma non necessaria ( il mio libro non ne parla,questo l'ho preso da wiki)

Quindi nel caso di \(\displaystyle \sum (1+2/n)^n a_{n} \) vale la condizione sufficiente (applicando un criterio) ma perchè è anche necessaria?

[gugo82]

"Turiz":Si, il testo completo della prima è:

"Sia \( \displaystyle a_{n} \) una successioni di numeri reali. La condizione

"La serie a0 + (a1 + a2 ) + (a3 + a4 + a5) + (a6 + a7 + a8 + a9)+.... è convergente" é Necessaria ma non sufficente affichè
la serie \( \displaystyle \sum a_{n} \) sia convergente.

Ok, proprio come pensavo quando ho scritto la prima risposta.
Quindi qua ti viene chiesto di stabilire se la convergenza della serie \(\sum b_n\) di termine generale:
\[
\begin{split}
b_0 &= a_0\\
b_1 &= a_1+a_2\\
b_2 &= a_3+ a_4+a_5\\
b_3 &= a_6+a_7+a_8+a_9\\
b_4 &= a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14}\\
&\vdots\\
b_n &= \underbrace{a_{\frac{n(n+1)}{2}} + a_{\frac{n(n+1)}{2} +1} + a_{\frac{n(n+1)}{2} +2}+\cdots + a_{\frac{n(n+1)}{2} + n}}_{n+1 \text{ addendi}}\\
&\vdots
\end{split}
\]
(la quale, come si dice in gergo, si ottiene raggruppando termini della serie \(\sum a_n\)) è necessaria, sufficiente o necessaria e sufficiente alla convegrenza della serie \(\sum a_n\).

"Turiz":Ciò che non capisco è:

"il limite della successione del termine generale è infinitesima " è una condizione necessaria ma non sufficiente
L'applicazione di un Criterio è una condizione sufficiente ma non necessaria ( il mio libro non ne parla,questo l'ho preso da wiki)

Non capisco quale sia il problema... Potresti spiegarti meglio?

"Turiz":Quindi nel caso di \( \displaystyle \sum (1+2/n)^n a_{n} \) vale la condizione sufficiente (applicando un criterio) ma perchè è anche necessaria?

Tieni presente che, per noti fatti, la successione d termine generale \((1+2/n)^n\) è strettamente crescente e perciò si ha:
\[
3\leq \left( 1+\frac{2}{n}\right)^n < e^2
\]
da cui, per la positività di \(a_n\), trai:
\[
3\ a_n\leq \left( 1+\frac{2}{n}\right)^n\ a_n < e^2\ a_n\; ;
\]
quindi, per confronto...

[Turidduz]

innanzitutto grazie mille per l'aiuto che mi stai fornendo!

Ciò che non capisco è come distinguere una condizione necessaria da una sufficiente nel caso delle serie..Cioè,non capisco proprio come regolarmi!

Il limite \(\displaystyle \lim_{} a_{n} \) con n-> infinito,è una condizione necessaria ma non sufficiente affichè la serie POSSA convergere.

Applicare un criterio tra i tanti invece è una condizione sufficiente.
il fatto che applicando un criterio ad una serie \(\displaystyle \sum a_{n} b_{n} \) e vedendo che converge,in che modo mi da delle informazioni su come \sum a_{n} converge?

A menochè,io non possa ricavarmi \(\displaystyle a_{n} \) vedendo l'argomento della serie come prodotto di cauchy tra le due,ma in ogni caso,saprei benissimo risolverla in qualunque caso,ma non riuscirei a regolarmi su CN o CS!

[gugo82]

"Turiz":Ciò che non capisco è come distinguere una condizione necessaria da una sufficiente nel caso delle serie..Cioè,non capisco proprio come regolarmi!

Il limite \(\displaystyle \lim_{} a_{n} \) con n-> infinito,è una condizione necessaria ma non sufficiente affichè la serie POSSA convergere.

Non capisco perché tu abbia questo specifico problema (cioé di distinguere condizioni necessarie da sufficienti, a quanto mi pare di capire) solo con le serie...

Insomma, la giostra è sempre la stessa.
Si dice che la condizione \(B\) è necessaria ad \(A\) se ogni qual volta è vera \(A\) è vera pure \(B\), ossia se vale l'implicazione:
\[
A\quad \Rightarrow \quad B\; .
\]
[Nota che ciò non toglie che possa verificarsi \(B\) senza che si verifichi \(A\).]

Viceversa, si dice che la condizione \(B\) è sufficiente per \(A\) se ogni qual volta è vera \(B\) è vera pure \(A\), cioé se vale l'implicazione:
\[
B\quad \Rightarrow \quad A\; .
\]
[Nota che ciò non toglie che possa verificarsi \(A\) senza che si verifichi \(B\).]

Ed ovviamente, si dice che \(B\) è condizione necessaria e sufficiente ad \(A\) se ogni qual volta si verifica \(A\) si verifica pure \(B\) e viceversa, cioé quando \(B\) è contemporaneamente condizione necessaria e condizione sufficiente ad \(A\), ovvero quando vale l'equivalenza:
\[
A\quad \Leftrightarrow \quad B\; .
\]

Ad esempio, l'implicazione espressa dal seguente teorema:

Sia \(\sum a_n\) una serie di numeri reali.
Se \(\sum a_n\) converge, allora \(\lim_n a_n=0\).

dice che la condizione \(B := \text{"}\lim_n a_n=0 \text{"}\) è necessaria alla condizione \(A := \text{"la serie } \sum a_n \text{ converge"}\); perciò tale teorema va sotto il nome di condizione necessaria alla convergenza.
Ci sono controesempi, come quello notabilissimo della serie armonica \(\sum 1/n\), i quali mostrano che la condizione \(B\) non è sufficiente alla condizione \(A\), ossia che in generale si ha \(B\ \not\Rightarrow\ A\).

In verso opposto, il semplice teorema:

Sia \(\sum a_n\) una serie di numeri reali.
Se la serie \(\sum |a_n|\) converge, allora anche la serie \(\sum a_n\) converge.

dice che la condizione \(B:= \text{"la serie } \sum |a_n| \text{ converge"}\) è sufficiente alla condizione \(A:= \text{"la serie } \sum a_n \text{ converge"}\); perciò tale teorema (che noto come teorema della convergenza assoluta) esprime una condizione sufficiente alla convergenza.
Anche in questo caso, ci sono esempi, come quello notevolissimo della serie armonica alternata \(\sum (-1)^n/n\), che mostrano che la condizione \(B\) non è necessaria per \(A\), cioé che in generale si ha \(A\ \not\Rightarrow \ B\).

"Turiz":Applicare un criterio tra i tanti invece è una condizione sufficiente.

In generale sì, ma dipende dai casi (e dai criteri).

"Turiz":il fatto che applicando un criterio ad una serie \(\displaystyle \sum a_{n} b_{n} \) e vedendo che converge,in che modo mi da delle informazioni su come \sum a_{n} converge?

Dipende... Nel caso in esame, cioé quello dell'esercizio 3, il fatto che la risposta giusta sia N&S dipende non tanto dall'uso di un criterio, quanto delle relazioni che intercorrono tra \(a_n\) ed \(a_nb_n\) (cioé dalle maggiorazioni che ho scritto sopra).
Pensaci un po'...

"Turiz":A menochè,io non possa ricavarmi \(\displaystyle a_{n} \) vedendo l'argomento della serie come prodotto di cauchy tra le due,ma in ogni caso,saprei benissimo risolverla in qualunque caso,ma non riuscirei a regolarmi su CN o CS!

Ma perché ti vuoi complicare la vita?

[Turidduz]

I dubbi sulle condizioni necessarie,sufficienti o Necessari e sufficienti non erano tali, in quanto è proprio in questo modo che ho ragionato..

Quindi sostanzialmente ciò che pensavo sulle CN e/o S sono giusti,la confusione deriva proprio dalla disuguaglianza (che è già un passo avanti,non ci sarei arrivato).

Allora,abbiamo che \(\displaystyle (1 + 2/n)^na_{n} \) è compresa (per il criterio del confronto) tra \(\displaystyle 3a_{n} \) e \(\displaystyle e^2 a_{n} \).
Quindi il fatto che tutta la serie converge è condizione necessaria è sufficiente affinchè \(\displaystyle a_{n} \).
Questo perchè è limitata no?

Nel caso invece di \(\displaystyle (\sqrt{n})a_{n} \) non essendo essa limitata,fa si che il fatto che \(\displaystyle a_{n}b_{n} \) è una condizione solo sufficiente,ma non è necessaria affinchè essa converga.

Analogamente come nel caso di \(\displaystyle \sum n^2 a_{n} \), il fatto che \(\displaystyle a_{n} \) converga,è condizione solo sufficiente,ma non necessaria...

Sbaglio?