Condizione necessaria di differenziabilità
Il teorema dice che sia $f: A \subseteq R^n -> R$ differenziabile in $x$ la funzione è continua in x; esistono tutte le derivate direzionali; e vale $T\underline{h} = \nabla f(x)\ \underline{h}$ dove $T$ è un operatore lineare.
Perchè facendo:
$f(x + h) - f(x) = T_x\ \h + o||h||$ con $(h->0)$ ,$T_x\ 0 = 0$ ho dimostrato il primo punto, cioè la continuità in $x$?
Perchè facendo:
$f(x + h) - f(x) = T_x\ \h + o||h||$ con $(h->0)$ ,$T_x\ 0 = 0$ ho dimostrato il primo punto, cioè la continuità in $x$?
Risposte
Non ci vuole molto per stabilire che:
\[
\lim_{y\to x} f(y) = f(x)
\]
e:
\[
\lim_{h\to o} f(x+h)=f(x)
\]
(qui \(h\) è un elemento di \(\mathbb{R}^n\) e \(o=(0,\ldots ,0)\)) sono proposizioni equivalenti tra loro.
Quindi la continuità di \(f\) in \(x\) si può benissimo esprimere usando la seconda uguaglianza.
Ed è proprio tale uguaglianza che vai a verificare nella dimostrazione, perchè:
\[
\lim_{h\to o} f(x+h) = \lim_{h\to o} f(x)+T_x(h)+\text{o}(|h|) = f(x)+0+0=f(x)\;.
\]
\[
\lim_{y\to x} f(y) = f(x)
\]
e:
\[
\lim_{h\to o} f(x+h)=f(x)
\]
(qui \(h\) è un elemento di \(\mathbb{R}^n\) e \(o=(0,\ldots ,0)\)) sono proposizioni equivalenti tra loro.
Quindi la continuità di \(f\) in \(x\) si può benissimo esprimere usando la seconda uguaglianza.
Ed è proprio tale uguaglianza che vai a verificare nella dimostrazione, perchè:
\[
\lim_{h\to o} f(x+h) = \lim_{h\to o} f(x)+T_x(h)+\text{o}(|h|) = f(x)+0+0=f(x)\;.
\]
Grazie perlomeno ora ho capito i passaggi matematici, ma non ho capito invece perchè questa differenza deve o può essere $f(x + h) - f(x) = T_x\ \h + o||h||$
Non voglio impararlo a memoria però è necessario comprenderlo...Grazie ancora!
Non voglio impararlo a memoria però è necessario comprenderlo...Grazie ancora!
Per definizione di differenziabilità in \(x\) hai:
\[
\lim_{h\to o} \frac{f(x+h)-f(x)-T_x(h)}{|h|} =0
\]
perciò la funzione definita ponendo:
\[
\phi (x;h):= f(x+h)-f(x)-T_x(h)
\]
per \(h\in B(o;\delta)\setminus \{o\}\) (\(\delta >0\) è sufficientemente piccolo, in modo che \(x+h\in A\) per ogni \(h\in B(o;\delta)\): ciò ti assicura che puoi calcolare effettivamente \(f(x+h)\)) è infinitesima d'ordine superiore a \(|h|\) per \(h\to o\), ossia che \(\phi (x;h)=\text{o}(|h|)\) per \(h\to o\).
Ma allora, coi soliti trucchetti pseudo-algebrici che si usano manipolando i simboli di Landau, hai:
\[
f(x+h)=f(x)+T_x(h) + \text{o}(|h|)
\]
per \(h\to o\).
\[
\lim_{h\to o} \frac{f(x+h)-f(x)-T_x(h)}{|h|} =0
\]
perciò la funzione definita ponendo:
\[
\phi (x;h):= f(x+h)-f(x)-T_x(h)
\]
per \(h\in B(o;\delta)\setminus \{o\}\) (\(\delta >0\) è sufficientemente piccolo, in modo che \(x+h\in A\) per ogni \(h\in B(o;\delta)\): ciò ti assicura che puoi calcolare effettivamente \(f(x+h)\)) è infinitesima d'ordine superiore a \(|h|\) per \(h\to o\), ossia che \(\phi (x;h)=\text{o}(|h|)\) per \(h\to o\).
Ma allora, coi soliti trucchetti pseudo-algebrici che si usano manipolando i simboli di Landau, hai:
\[
f(x+h)=f(x)+T_x(h) + \text{o}(|h|)
\]
per \(h\to o\).
Avendo difficoltà con la pratica vuol dire ho c'è qualche lacuna teorica, perchè prendendo la funzione, come faccio a dire se è continua?
$f(x,y) = (xy)/(x^2 + y^2)$ come faccio a dire se è continua?
$f(x,y) = (xy)/(x^2 + y^2)$ come faccio a dire se è continua?
La funzione è definita in \(\operatorname{dom} f:=\mathbb{R}^2\setminus \{o\}\); nel suo insieme di definizione, la funzione \(f\) è il rapporto tra due funzioni continue, la seconda della quale non nulla: pertanto \(f\) è continua in \(\operatorname{dom} f\)...
Ad ogni modo stento a capire cosa c'entri questa questione con la differenziabilità.
Ad ogni modo stento a capire cosa c'entri questa questione con la differenziabilità.
Una funzione per essere differenziabile deve anche essere continua no? comunque grazie mille 
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