Condizione necessaria di Cauchy
Salve, ho qui per voi il seguente quesito:
Consideriamo una seria che fallisca la verifica della condizione su citata, e che ad esempio questa valga -inf, posso subito dire quindi che la serie diverge negativamente? o sono necessari ulteriori passaggi per arrivare a dire che la serie diverge a -inf? E' così che si ragiona con il criterio di Cauchy?
Consideriamo una seria che fallisca la verifica della condizione su citata, e che ad esempio questa valga -inf, posso subito dire quindi che la serie diverge negativamente? o sono necessari ulteriori passaggi per arrivare a dire che la serie diverge a -inf? E' così che si ragiona con il criterio di Cauchy?
Risposte
Cosa vuol dire che la condizione di Cauchy vale $-\infty$?
"Luca.Lussardi":
Cosa vuol dire che la condizione di Cauchy vale $-\infty$?
Intendo la verifica quindi lo svolgimento del limite..
Intendi che hai la serie $\sum_na_n$ e ti viene $\lim_na_n=-\infty$?
"Luca.Lussardi":
Intendi che hai la serie $\sum_na_n$ e ti viene $\lim_na_n=-\infty$?
Esattamente, o anche +inf, o anche L. Insomma diverso da 0.
Aaaaah! Quindi per te la "condizione di Cauchy" è $lim_n a_n =0$!!!
Questa di solito si chiama Condizione Necessaria alla Convergenza , poiché se essa non è soddisfatta la serie non converge.
La Condizione di Convergenza di Cauchy, invece, esprime una condizione necessaria e sufficiente alla convergenza e si sintetizza nella proposizione:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n\geq \nu\text{ e } \forall p\in \mathbb{N},\ \left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k\right| <\varepsilon\; .
\]
Questa di solito si chiama Condizione Necessaria alla Convergenza , poiché se essa non è soddisfatta la serie non converge.
La Condizione di Convergenza di Cauchy, invece, esprime una condizione necessaria e sufficiente alla convergenza e si sintetizza nella proposizione:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n\geq \nu\text{ e } \forall p\in \mathbb{N},\ \left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k\right| <\varepsilon\; .
\]
"gugo82":
Aaaaah! Quindi per te la "condizione di Cauchy" è $lim_n a_n =0$!!!
Questa di solito si chiama Condizione Necessaria alla Convergenza ...
Si, se il termine generale di una serie è infinitesimo la serie sicuramente non converge. Non è la condizione di Cauchy questa?
http://dida.fauser.edu/matetri/valsecch ... cauchy.htm
Non ho mai sentito nessuno chiamare Condizione di Cauchy quella roba lì... Probabile si usi in certe province sperdute, su per le montagne, ma qui da noi, vicino al mare, no. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo