Condizione necessaria convergenza serie

[piratax89]

Ciao ragazzi sul mio libro nella dimostrazione porta questi passaggi.

Essendo:

S(n+1) = S(n) + a(n+1) $ AA $ n€ N

Risulta:
$ lim_(n -> <+oo>) $ a(n+1) = $ lim_(n -> <+oo>) $ S(n+1) - $ lim_(n -> <+oo>) $ S(n) = s - s = 0

Mi dispiace se non è chiara la scrittura ma sono nuovo sul forum non sto capendo la prima uguaglianza. Da dove la prende perchè dovrebbe essere vera? Se me lo chiede all' orale cosa devo rispondere?


[mod="gugo82"]Eliminato il grassetto e la dimensione eccessiva dei caratteri; nessuno dei due espedienti era utile allo scopo di facilitare la lettura o la comprensione del testo e l'uso di tali mezzucci al fine di risultare più visibili è proibito dal regolamento (cfr. 3.5), che ti invito caldamente a leggere.[/mod]

[krek1]

La prima dice che

$\sum_{i=1}^(n+1)a_i=\sum_{i=1}^(n)a_i + a_(n+1)$

ed è sempre vera sia che si tratti di una serie convergete o divergente.

il risultato che ottieni dice che se la serie è convergente allora il limite del termine generico $a_(n+1)$ con $n$ che tende a $+\infty$ deve essere $0$.

Questa è una condizione necessaria ma non sufficiente a garantire la convergenza della serie.

[The_Mad_Hatter]

"piratax89":[size=150]Ciao ragazzi sul mio libro nella dimostrazione porta questi passaggi.

Essendo[/size]:

$S_(n+1) = S_(n) + a_(n+1)$ $ AA n in N$

Da qui ovviamente segue:
$a_(n+1) = S_(n+1) - S_(n)$ $ AA n in N$

Dato che se $a_n = b_n$, allora il loro limite deve essere uguale,

Risulta:
$ lim_(n -> +oo) a_(n+1) = lim_(n -> +oo) (S_(n+1) - S_(n)) = lim_(n -> +oo) S_(n+1) - lim_(n -> +oo) S_(n) = s - s = 0$

E' chiaro adesso?

[krek1]

Dato che se $a_n=b_n$, allora il loro limite deve essere uguale

qui sono io che non ho capito cosa intendi con $a_n=b_n$

[piratax89]

insomma Ho capito sono parole pesanti... krek nella prima parte mi hai riscritto la stesa cosa e hai detto che è sempre vera sia che si tratti di una serie convergete o divergente.
Questo lo do per scontato ma non riesco a capire il perchè...

[dissonance]

Ma che parole pesanti?!? E' una cosa completamente ovvia. La maniera più veloce e semplice di spiegarla è quella del tuo libro, leggilo con più attenzione e lascia stare il forum.

[The_Mad_Hatter]

"krek":

Dato che se $a_n=b_n$, allora il loro limite deve essere uguale

qui sono io che non ho capito cosa intendi con $a_n=b_n$

Mmm.. probabilmente per la fretta ho fatto un piccolo abuso di notazione. Intendevo se ${a_n} = {b_n}$, ovvero se le due successioni sono uguali. Quindi se $a_n = b_n AA n in NN$.

Comunque quoto dissonance, è un concetto estremamente banale, rileggi con attenzione e vedrai che capirai.

EDIT: quoto un mio post:

"The_Mad_Hatter":No.

Dev'essere $lim_(n->+oo) a_n = 0$ (dimostrazione: http://it.wikipedia.org/wiki/Serie#Cond ... onvergenza)


D'altronde se ci pensi è anche intuitivo: una serie è una somma di infiniti termini, come potrebbe questa somma essere finita se "prima o poi" gli addendi non diventano trascurabili rispetto ad essa?

(ad ogni modo è sempre meglio lasciare l'intuito da parte e capire le dimostrazioni, formalizzando ciò che magari l'intuito ci suggerisce)

[krek1]

Ti invidio ... io non riesco a dare per scontata una cosa che non capisco.