Condizione di f = serie di Tylor

[giuggiolo1]

Ciao a tutti!
Per l'esame di analisi 3 c'è una condizione che permette di stabilire se una funzione è analitica o meno. Solo che non riesco a capirne la dimostrazione...

Sia $f in C^oo(-r, r)$. Se $EE M>0 t.c. $ sup$|f^((n))(x)| <= M(n!)/z^n$ con $x in (-r , r)$ e valida per ogni $n>=n0 in NN$
allora f è sviluppabile nella sua serie di Tylor.

La dimostrazione è la seguente:

per ogni $n in NN f(x) = sum_(k = 0)^(oo) (f^((k))(0))/(k!)x^k+R_n(x)$

so che $EE c in (0, x) t.c. R_n(x) = (f^((n+1))(c))/(n+1!)x^(n+1)$
e vale anche:
$|R_n(x)| = |f^((n+1))(c)|/(n+1!)|x|^(n+1) <= M((n+1)!)/((n+1)!)*|x|^(n+1)/(r^(n+1)) = M(|x|/r)^(n+1) ->0, n->+oo$

la dimostrazione non mi è chara nel passaggio da f a M...
grazie

[dissonance]

Ha maggiorato $|f^{(n+1)}(c)|$ con $"sup"|f^{(n+1)}(x)|$.

[giuggiolo1]

continua a non essermi chiaro..cioè la disequazione:
$|f^((n+1))(c)|/((n+1)!)|x|^(n+1) <= M((n+1)!)/((n+1)!)*|x|^(n+1)/(r^(n+1))$
è vera se
$|f^((n+1))(c)| <= M((n+1)!)/(r^(n+1))$
ma non vedo nessuna ipotesi o teorema che lo giustifichi

[Euphurio]

"giuggiolo":continua a non essermi chiaro..cioè la disequazione:
$|f^((n+1))(c)|/((n+1)!)|x|^(n+1) <= M((n+1)!)/((n+1)!)*|x|^(n+1)/(r^(n+1))$
è vera se
$|f^((n+1))(c)| <= M((n+1)!)/(r^(n+1))$
ma non vedo nessuna ipotesi o teorema che lo giustifichi

"giuggiolo":
...Se $\exists M>0$ tale che $"sup"|f^((n))(x)| \le \frac{Mn!}{r^n}$

la risposta è nel tuo primo post, se ho ben capito la tua perplessità...il passaggio è giustificato dall'ipotesi del teorema...basta sostituire ad $n$ il valore $n+1$!

per completezza, come giustamente suggerito dall'amico dissonance , devi solo notare che
$|f^((n+1))(c)| \le "sup"|f^((n+1))(x)| \le \frac{M(n+1)!}{r^{n+1}} $

[giuggiolo1]

ah bene, ora ho capito! grazie ad entrambi!

[giuggiolo1]

ah no, un ultimo dubbio...in questo modo ho dimostrato che il resto tende a 0. Ma non ho dimostrato che f è pari alla sua serie di McLaurin (a quanto sembra)!

[Feliciano1]

e vabbè se il resto è 0 allora la funzione è proprio pari al suo sviluppo (quarda la prima riga della dimostrazione che hai scritto tu nel primo post)

[Euphurio]

"giuggiolo":

per ogni $n in NN f(x) = sum_(k = 0)^(oo) (f^((k))(0))/(k!)x^k+R_n(x)$

non lo riesci a capire perchè sono sbagliati gli estremi della somma!

La scrittura corretta è $f(x) = \sum_(k = 0)^(n) (f^((k))(0))/(k!)x^k+R_n(x)$. Adesso dovrebbe esserti tutto chiaro!