Condizione di Cauchy (serie)?
Ciao ragazzi, sto studiando per l'esame orale di Analisi, che avrò lunedì.
Tra gli appunti mi è capitata questa CONDIZIONE DI CAUCHY.
E' un teorema con una dimostrazione abbastanza semplice, ma non mi è chiaro il concetto che c'è dietro. Ve lo illustro:
" Una serie converge " $ hArr AA epsilon >0 EE nu |a_(n+1)+...+a_(n+p)|
dim:
$ sum_(k = \1) a_(nk) $ converge $ hArr $ $ EE lim_ns_n=s hArr{s_n} $ è di Cauchy
Sn è di Cauchy $ hArr AA epsilon >0,EE nu |s_m-s_n|
Pongo m=n+p
$ |s_m-s_n| = |s_(n+p)-s_n| = |a_n+a_(n+1)+...+a_(n+p)-a_n|= |a_(n+1)+...+a_(n+p)| < epsilon $
c.v.d.
Il procedimento mi è chiaro, ma non ho chiaro proprio il concetto che ci sta dietro, cioè, con questo cosa vuole dirmi questo Teorema?
Tra gli appunti mi è capitata questa CONDIZIONE DI CAUCHY.
E' un teorema con una dimostrazione abbastanza semplice, ma non mi è chiaro il concetto che c'è dietro. Ve lo illustro:
" Una serie converge " $ hArr AA epsilon >0 EE nu |a_(n+1)+...+a_(n+p)|
dim:
$ sum_(k = \1) a_(nk) $ converge $ hArr $ $ EE lim_ns_n=s hArr{s_n} $ è di Cauchy
Sn è di Cauchy $ hArr AA epsilon >0,EE nu |s_m-s_n|
Pongo m=n+p
$ |s_m-s_n| = |s_(n+p)-s_n| = |a_n+a_(n+1)+...+a_(n+p)-a_n|= |a_(n+1)+...+a_(n+p)| < epsilon $
c.v.d.
Il procedimento mi è chiaro, ma non ho chiaro proprio il concetto che ci sta dietro, cioè, con questo cosa vuole dirmi questo Teorema?
Risposte
Intuitivamente, se pensi a una serie $sum_(n)^(oo)a_n$, affinché essa sia convergente, mano a mano che l'indice $n$ della serie aumenta, allora gli $a_n$ devono diventare molto piccoli, ossia tendere a zero, perché se cosi non fosse la serie non potrebbe essere convergente, la condizione di cauchy non dice altro che, per qualsiasi epsilon arbitrariamente piccolo, esiste un certo indice $n_(epsilon)$ tale che la somma di arbitrari termini della serie con indice maggiore di $n_epsilon$ sia minore di $epsilon$
"Vulplasir":
Intuitivamente, se pensi a una serie $sum_(n)^(oo)a_n$, affinché essa sia convergente, mano a mano che l'indice $n$ della serie aumenta, allora gli $a_n$ devono diventare molto piccoli, ossia tendere a zero, perché se cosi non fosse la serie non potrebbe essere convergente, la condizione di cauchy non dice altro che, per qualsiasi epsilon arbitrariamente piccolo, esiste un certo indice $n_(epsilon)$ tale che la somma di arbitrari termini della serie con indice maggiore di $n_epsilon$ sia minore di $epsilon$
Beh, no.
In realtà la condizione di Cauchy per le serie dice molto di più, cioè fornisce una proprietà più forte del semplice fatto che i suoi addendi diventano "molto piccoli".[nota]Difatti, il diventare "molto piccoli" degli addendi è condizione necessaria, ma nient'affatto sufficiente, alla convergenza di una serie.[/nota]
La condizione di Cauchy dice, in sostanza, che è possibile scegliere un indice $\nu$ a partire dal quale in poi tutte le possibili somme del tipo:
\[
a_{n+1} + a_{n+2}+\cdots + a_{n+p} = \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k
\]
con $n\geq \nu$ e $p \in NN$ sono "piccole".
Ciò può accadere per più motivi.
Ad esempio, c'è il motivo che citava Vuplasir, cioè tutti gli addendi diventano "piccoli" abbastanza "rapidamente".
Però può anche accadere che gli addendi diventino "piccoli" molto "lentamente" e che le loro somme rimpiccioliscano per opportune compensazioni di segno (e.g., pensa alla serie \(\sum \frac{(-1)^n}{\log n}\), i cui addendi vanno a zero lentamente, ma che converge per il Criterio di Leibniz e perciò soddisfa il Criterio di Cauchy)