Condizione d'esistenza per convoluzione discreta di sequenze

[zaire90]

Salve a tutti.
Volevo un un chiarimento riguardo all' esistenza della convoluzione di due sequenze infinite di numeri (reali o complessi). Cioè date:
\[ \{a_t:t=\dots,-1,0,1,\dots\} \quad \text{e} \quad \{b_t:t=\dots,-1,0,1,\dots \} \]
e definendo la loro convoluzione come:
\[ a\ast b_t\equiv \sum_{u=-\infty}^{\infty}a_u b_{t-u} \qquad \text{\(t=\dots,-1,0,1,\dots\)} \]
quali sono le condizioni di convergenza per le due sequenze affinchè la convoluzione sia ben definita? In rete trovo sempre argomenti nel caso di funzioni e non di sequenze.

[gugo82]

A occhio, direi che basta che \(a\in \ell^p\) e \(b\in \ell^{p^\prime}\), ove \(p\in [1,\infty]\) e:
\[
p^\prime = \begin{cases} \infty & \text{, se } p=1\\
\frac{p}{p-1} & \text{, se } 1 1 & \text{, se } p=\infty\; ,
\end{cases}
\]
perché la disuguaglianza di Hölder vale anche per le successioni bilatere.

[zaire90]

Ah ottimo ...non avevo pensato alla disuguaglianza di holder e non sapevo valesse anche per le serie bilatere!

Scusa se sono un po' pignolo, sai per caso a tal proposito dove posso trovare una conferma di tale validità...?? non riesco a trovare nulla. Io mi fiderei pure ma meglio essere preparati agli esami

[gugo82]

Metti la misura che conta su \(\mathbb{Z}\) ed usa la disuguaglianza classica per il generico spazio di misura.