Condizione del II ordine con hessiano nullo
Premesso che ho trovato diverse discussioni sul forum, e premesso che ho capito il funzionamento del metodo, in quasi tutti gli esercizi che prevedono hessiano nullo e studio dell'incremento non riesco mai a giungere ad una conclusione.
Ho la funzione $ f(x,y)= 4/3x^3+2y^2-4x^2+4x $ e devo calcolare massimi, minimi e sella applicando la condizione del II ordine. Trovo che l'unico punto stazionario è $(1,0)$ e andando a svolgere l'hessiano la condizione è inconclusiva, per cui vado a studiare l'incremento: $ Deltaf(1,0)=f(1+h,0+k)-f(1,0)=4/3h^3+2k^2 $ .
Osservo che $2k^2>0 AA k in R$, ma non so cosa dire per $4/3h^3$.
Devo studiare separatamente per $h>0$ e $h<0$? Perché se fosse così avremmo rispettivamente un minimo locale stretto e un sella...
Ho la funzione $ f(x,y)= 4/3x^3+2y^2-4x^2+4x $ e devo calcolare massimi, minimi e sella applicando la condizione del II ordine. Trovo che l'unico punto stazionario è $(1,0)$ e andando a svolgere l'hessiano la condizione è inconclusiva, per cui vado a studiare l'incremento: $ Deltaf(1,0)=f(1+h,0+k)-f(1,0)=4/3h^3+2k^2 $ .
Osservo che $2k^2>0 AA k in R$, ma non so cosa dire per $4/3h^3$.
Devo studiare separatamente per $h>0$ e $h<0$? Perché se fosse così avremmo rispettivamente un minimo locale stretto e un sella...
Risposte
"mobley":
... avremmo rispettivamente un minimo locale stretto e un sella ...
Veramente, si dice punto di sella proprio perché può godere di quelle proprietà. Insomma, se ti muovi parallelamente all'asse y "sembra" essere un minimo, se ti muovi parallelamente all'asse x "sembra" essere un punto di crescenza.
Quindi come dovrei concludere?
Che si tratta di un punto di sella.
Ok quindi ogni volta che studio l'incremento, se il segno non è "univocamente certo" ma dipende dai valori che potrebbero essere assunti da $h$ e $k$, il punto corrispondente sarà sempre un sella. Giusto?
Porto un altro esempio come confronto. Data la funzione $ f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2 $ si hanno tre punti stazionari di cui solo $(0,0)$ rende la condizione del II inconclusiva. Studio l'incremento:
Allora:
- $2h^4>0 AA h in R$
- $2k^4>0 AA k in R$
- $4>0$
- $-(h^2)<0 AA h in R$
- $-(k^2)<0 AA k in R$
- $2hk ><0$ a seconda dei valori assunti da $h$ e $k$
Siccome non abbiamo tutti valori $>0$ o tutti $<0$ il punto è un sella. Giusto?
Porto un altro esempio come confronto. Data la funzione $ f(x,y)=2(x^4+y^4+1)-(x+y)^2 $ si hanno tre punti stazionari di cui solo $(0,0)$ rende la condizione del II inconclusiva. Studio l'incremento:
$ Deltaf(0,0)=f(0+h,0+k)-f(0,0)=2h^4+2k^4-h^2-k^2-2hk+4 $
Allora:
- $2h^4>0 AA h in R$
- $2k^4>0 AA k in R$
- $4>0$
- $-(h^2)<0 AA h in R$
- $-(k^2)<0 AA k in R$
- $2hk ><0$ a seconda dei valori assunti da $h$ e $k$
Siccome non abbiamo tutti valori $>0$ o tutti $<0$ il punto è un sella. Giusto?
Veramente:
$Deltaf(0,0)=f(h,k)-f(0,0)=2(h^4+k^4)-(h+k)^2$
A questo punto, se mi muovo lungo l'asse x oppure lungo l'asse y:
$[k=0] rarr [Deltaf(0,0)=h^2(2h^2-1)] rarr [Deltaf(0,0) lt 0] ^^ [-sqrt2/2 lt h lt sqrt2/2]$
$[h=0] rarr [Deltaf(0,0)=k^2(2k^2-1)] rarr [Deltaf(0,0) lt 0] ^^ [-sqrt2/2 lt k lt sqrt2/2]$
visto che il segno della variazione deve essere valutato, rispettivamente, per piccoli valori di $|h|$ oppure di $|k|$.
Tuttavia, se mi muovo lungo la bisettrice del 2° e del 4° quadrante:
$[k=-h] rarr [Deltaf(0,0)=4h^4] rarr [Deltaf(0,0) gt 0]$
In definitiva, si tratta di un punto di sella.
Al netto della svista iniziale, per valutare correttamente il segno della variazione non basta mettersi nel caso in cui tutti i contributi della somma hanno lo stesso segno. Solo per fare un esempio, una somma può essere positiva anche se i suoi addendi non sono tutti positivi. Per facilitarsi il compito si operano delle opportune restrizioni. Ovviamente, è necessaria un po' di esperienza.
$Deltaf(0,0)=f(h,k)-f(0,0)=2(h^4+k^4)-(h+k)^2$
A questo punto, se mi muovo lungo l'asse x oppure lungo l'asse y:
$[k=0] rarr [Deltaf(0,0)=h^2(2h^2-1)] rarr [Deltaf(0,0) lt 0] ^^ [-sqrt2/2 lt h lt sqrt2/2]$
$[h=0] rarr [Deltaf(0,0)=k^2(2k^2-1)] rarr [Deltaf(0,0) lt 0] ^^ [-sqrt2/2 lt k lt sqrt2/2]$
visto che il segno della variazione deve essere valutato, rispettivamente, per piccoli valori di $|h|$ oppure di $|k|$.
Tuttavia, se mi muovo lungo la bisettrice del 2° e del 4° quadrante:
$[k=-h] rarr [Deltaf(0,0)=4h^4] rarr [Deltaf(0,0) gt 0]$
In definitiva, si tratta di un punto di sella.
"mobley":
Allora:
$2h^4>0 AA h in R$
$2k^4>0 AA k in R$
$4>0$
$-(h^2)<0 AA h in R$
$-(k^2)<0 AA k in R$
$2hk ><0$ a seconda dei valori assunti da $h$ e $k$
Siccome non abbiamo tutti valori $>0$ o tutti $<0$ il punto è un sella. Giusto?
Al netto della svista iniziale, per valutare correttamente il segno della variazione non basta mettersi nel caso in cui tutti i contributi della somma hanno lo stesso segno. Solo per fare un esempio, una somma può essere positiva anche se i suoi addendi non sono tutti positivi. Per facilitarsi il compito si operano delle opportune restrizioni. Ovviamente, è necessaria un po' di esperienza.
Esperienza che io non ho e che mi ha portato a scrivere un mucchio di sciocchezze D:
Comunque dovrei aver capito il procedimento:
A) scrivere la formula dell'incremento
B) operare delle "apposite" restrizioni per valutare l'effetto sull'incremento stesso
Avrei solo un paio di domande da farti:
1) Perché nel calcolo di $Deltaf(0,0)$ non hai considerato la costante $2$?
2) Come riesci ad ottenere, per $k=0$ e $h=0$, che $Deltaf(0,0)$ è negativo ($<0$)? Nel senso che, dato ad es. $ Deltaf(0,0)=h^2(2h^2-1) $, io ho:
per cui $h$ è positivo nell'intervallo compreso tra $-root()(2)/2$ e $root()(2)/2$ e negativo altrove.
Questo non dovrebbe portarmi a dire che, per $h$ compreso in tale intervallo, $Deltaf(0,0)>0$ e quindi $(0,0)$ è un massimo locale (dato che abbiamo un primo segno positivo ($h^2$) e un secondo segno positivo (i punti nell'intervallo))? Viceversa, per $h$ esterno all'intervallo, non dovrei concludere che il punto è un sella (dato che abbiamo un segno positivo ($h^2$) e uno negativo (i punti fuori dall'intervallo))?
E lo stesso dicasi per $k$...
3) Quali restrizioni mi consigli di usare solitamente? Oltre quelle che mi hai indicato naturalmente.
Scusa le tante domande o eventuali altre "castronerie", sto sforzandomi di capire il metodo
Comunque dovrei aver capito il procedimento:
A) scrivere la formula dell'incremento
B) operare delle "apposite" restrizioni per valutare l'effetto sull'incremento stesso
Avrei solo un paio di domande da farti:
1) Perché nel calcolo di $Deltaf(0,0)$ non hai considerato la costante $2$?
2) Come riesci ad ottenere, per $k=0$ e $h=0$, che $Deltaf(0,0)$ è negativo ($<0$)? Nel senso che, dato ad es. $ Deltaf(0,0)=h^2(2h^2-1) $, io ho:
$h^2>0 AA in R$
$ 2h^2-1>0->h^2>1/2->h>+- 1/2 $ da cui $ h>root()(2)/2 uu h<-root()(2)/2 $
$ 2h^2-1>0->h^2>1/2->h>+- 1/2 $ da cui $ h>root()(2)/2 uu h<-root()(2)/2 $
per cui $h$ è positivo nell'intervallo compreso tra $-root()(2)/2$ e $root()(2)/2$ e negativo altrove.
Questo non dovrebbe portarmi a dire che, per $h$ compreso in tale intervallo, $Deltaf(0,0)>0$ e quindi $(0,0)$ è un massimo locale (dato che abbiamo un primo segno positivo ($h^2$) e un secondo segno positivo (i punti nell'intervallo))? Viceversa, per $h$ esterno all'intervallo, non dovrei concludere che il punto è un sella (dato che abbiamo un segno positivo ($h^2$) e uno negativo (i punti fuori dall'intervallo))?
E lo stesso dicasi per $k$...
3) Quali restrizioni mi consigli di usare solitamente? Oltre quelle che mi hai indicato naturalmente.
Scusa le tante domande o eventuali altre "castronerie", sto sforzandomi di capire il metodo
"mobley":
Perché nel calcolo di $Deltaf(0,0)$ non hai considerato la costante $2$?
In che senso? Nel calcolare:
$Deltaf(0,0)=f(h,k)-f(0,0)$
si deve sottrarre $[f(0,0)=2]$. Proprio per questo motivo:
$Deltaf(0,0)=2(h^4+k^4)-(h+k)^2$
"mobley":
... per cui $h$ è positivo nell'intervallo compreso tra $-root()(2)/2$ e $root()(2)/2$ ...
Impossibile aiutarti se, esponendo i tuoi dubbi, scrivi una frase come quella che ho appena riportato.
Uff...è la stanchezza da troppo studio...
Comunque sei stato chiarissimo Sergeant Elias, grazie mille davvero!
Comunque sei stato chiarissimo Sergeant Elias, grazie mille davvero!
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