Condizione al contorno equazione differenziale

franc95
Salve ho un dubbio, so che per risolvere equazioni alle derivate parziali devo avere delle condizioni al contorno e che il numero deve essere pari al grado della derivata in cui è contenuta la variabile, ma perché il grado della condizione deve essere di un ordine inferiore all'equazione?
Grazie mille

Risposte
gugo82
Beh, usare nelle condizioni (iniziali od al bordo) le derivate dello stesso ordine dell'equazione non porta a nulla di buono già per le EDO... Quindi a maggior ragione non porta a nulla di buono per le PDE.

In particolare, quando si inseriscono nelle condizioni (iniziali o al bordo) le derivate dello stesso ordine dell'equazione si può:
[list=1][*:1sm4x6yj] ottenere un problema incompatibile, oppure
[/*:m:1sm4x6yj]
[*:1sm4x6yj] ottenere un problema con infinite soluzioni.[/*:m:1sm4x6yj][/list:o:1sm4x6yj]
Tanto per capirci, fornisco due esempi in ambito EDO.

Il problema:
\[
\begin{cases} y^{\prime \prime} (x) = x\\
y^{\prime \prime} (0) = 0\\
y^{\prime \prime} (1) = 2
\end{cases}
\]
è incompatibile, poiché nessuna funzione può soddisfare contemporaneamente la EDO e la condizione imposta nel punto \(1\). Questo è il caso 1.

Invece, il problema:
\[
\begin{cases} y^{\prime \prime} (x) + y(x) = 0\\
y^{\prime \prime} (0) = 0\\
y^{\prime \prime} (2\pi) = 0
\end{cases}
\]
non ha unica soluzione: infatti, l'integrale generale della EDO è \(y(x;c_1,c_2) = c_1 \cos x + c_2 \sin x\) e imponendo le condizioni al bordo si trova $c_1=0$, cosicché le soluzioni del problema sono tutte le funzioni della famiglia \(y(x;0,c_2) = c_2 \sin x\) ottenute facendo variare il parametro $c_2$ in \(\mathbb{R}\). Questo è il caso 2.

Ho scelto EDO di secondo ordine perché gli esempi sono meno artificiali; però avrei potuto usare anche EDO di ordine inferiore... Ad esempio, puoi divertirti a stabilire cosa succede per i problemi:
\[
\begin{cases} y^\prime (x) = y(x)\\
y^\prime (0) - y(0) = 0
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad
\begin{cases} y^\prime (x) = y(x)\\
y^\prime (0) - y(0) = 1\; .
\end{cases}
\]

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