Condizione al contorno equazione differenziale

[franc95]

Salve ho un dubbio, so che per risolvere equazioni alle derivate parziali devo avere delle condizioni al contorno e che il numero deve essere pari al grado della derivata in cui è contenuta la variabile, ma perché il grado della condizione deve essere di un ordine inferiore all'equazione?
Grazie mille

[gugo82]

Beh, usare nelle condizioni (iniziali od al bordo) le derivate dello stesso ordine dell'equazione non porta a nulla di buono già per le EDO... Quindi a maggior ragione non porta a nulla di buono per le PDE.

In particolare, quando si inseriscono nelle condizioni (iniziali o al bordo) le derivate dello stesso ordine dell'equazione si può:
[list=1][*:1sm4x6yj] ottenere un problema incompatibile, oppure
[/*:m:1sm4x6yj]
[*:1sm4x6yj] ottenere un problema con infinite soluzioni.[/*:m:1sm4x6yj][/list:o:1sm4x6yj]
Tanto per capirci, fornisco due esempi in ambito EDO.

Il problema:
\[
\begin{cases} y^{\prime \prime} (x) = x\\
y^{\prime \prime} (0) = 0\\
y^{\prime \prime} (1) = 2
\end{cases}
\]
è incompatibile, poiché nessuna funzione può soddisfare contemporaneamente la EDO e la condizione imposta nel punto \(1\). Questo è il caso 1.

Invece, il problema:
\[
\begin{cases} y^{\prime \prime} (x) + y(x) = 0\\
y^{\prime \prime} (0) = 0\\
y^{\prime \prime} (2\pi) = 0
\end{cases}
\]
non ha unica soluzione: infatti, l'integrale generale della EDO è \(y(x;c_1,c_2) = c_1 \cos x + c_2 \sin x\) e imponendo le condizioni al bordo si trova $c_1=0$, cosicché le soluzioni del problema sono tutte le funzioni della famiglia \(y(x;0,c_2) = c_2 \sin x\) ottenute facendo variare il parametro $c_2$ in \(\mathbb{R}\). Questo è il caso 2.

Ho scelto EDO di secondo ordine perché gli esempi sono meno artificiali; però avrei potuto usare anche EDO di ordine inferiore... Ad esempio, puoi divertirti a stabilire cosa succede per i problemi:
\[
\begin{cases} y^\prime (x) = y(x)\\
y^\prime (0) - y(0) = 0
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad
\begin{cases} y^\prime (x) = y(x)\\
y^\prime (0) - y(0) = 1\; .
\end{cases}
\]