Condizione aggiuntiva in dominio integrale doppio inutile (?)

[angelo.intile]

Ciao ragazzi, ho da svolgere il seguente integrale:

$int int_T y+sqrt(x) dx dy$

$T={(x,y)\in RR^2: x^2+y^2<=1, -1<=x<=0, x+1<=y<=0 }$

Disegnando il dominio si ottiene ciò (in arancione ho indicato l'area del dominio interessata):


In questo caso, la condizione $x^2+y^2<=1$ contenuta nel dominio T, non è superflua ? Cioè il dominio si riesce ad individuare anche senza la presenza della circonferenza, o sbaglio ?

Quindi l'integrale si può svolgere come normale rispetto all'asse x ? Poiché la x varia tra due valori numerici ben definiti, mentre la y fra 0 e una funzione di x.

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Secondo me la zona da colorare di arancione non può essere quella indicata nella figura da te riportata, dal momento che nella definizione dell'insieme $T$ risulta, tra l'altro, che dovrebbe valere $y<=0$.

Dovrebbe risultare che all'insieme $T$ è associabile la porzione di piano coincidente con il quarto di cerchio del terzo quadrante (che nel disegno non compare).

Saluti.

[angelo.intile]

"alessandro8":Ciao.

Secondo me la zona da colorare di arancione non può essere quella indicata nella figura da te riportata, dal momento che nella definizione dell'insieme $T$ risulta, tra l'altro, che dovrebbe valere $y<=0$.

Dovrebbe risultare che all'insieme $T$ è associabile la porzione di piano coincidente con il quarto di cerchio del terzo quadrante (che nel disegno non compare).

Saluti.

Hai ragione, io avevo sbagliato a disegnare il grafico perché avevo considerato $y>=0$.

A questo punto io però non trovo nessuna regione del piano compresa contemporaneamente all'interno della circonferenza, sopra la retta $y=x+1$ (ma con $y<=0$ ) e con x compresa tra -1 e 0

Possibile che sia sbagliato il testo ?

[dissonance]

Secondo me la condizione $y\le 0$ è un errore di trascrizione. Così com'è il dominio $T$ è ridotto al punto $(x=-1, y=0)$.

[angelo.intile]

"dissonance":Secondo me la condizione $y\le 0$ è un errore di trascrizione. Così com'è il dominio $T$ è ridotto al punto $(x=-1, y=0)$.

Il testo è questo, proprio come l'ho scritto io. Sarà sicuramente sbagliato, ho inviato una email alla mia Prof. di Analisi, vi farò sapere

[Sk_Anonymous]

"alessandro8":Ciao.
Dovrebbe risultare che all'insieme $T$ è associabile la porzione di piano coincidente con il quarto di cerchio del terzo quadrante (che nel disegno non compare).
Saluti.

Scusa, ho scritto una cosa inesatta... io a mia volta non avevo tenuto conto del vincolo della retta.

Ha ragione dissonance:

"dissonance":Secondo me la condizione $ y\le 0 $ è un errore di trascrizione. Così com'è il dominio $ T $ è ridotto al punto $ (x=-1, y=0) $.

Saluti.

[angelo.intile]

Aggiornamento ragazzi!

La prof mi ha detto di eliminare la condizione $y<=0$ che è errata come avevamo pensato noi

A questo punto l'area del dominio T è quello spicchio compreso fra la circonferenza e la retta $y=x+1$ no ?

[Lo_zio_Tom]

Sì, solo che ora è ridondante l'altra $-1

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[angelo.intile]

"tommik":Sì, solo che ora è ridondante l'altra $-1
L'integrale diventa così

$ int_(-1)^0 dx int_(x+1)^(sqrt(-x^2+1)) (y+sqrt(x)) dy $

[angelo.intile]

Ragazzi ma l'integrale $int_(-1)^0 x sqrt(x) dx $ come lo risolvo ? Vorrei risolverlo per sostituzione ponendo:

$t=sqrt(x)$ , solo che quando vado per cambiare gli estremi di integrazione (cioè devo fare la radice degli estremi in questo caso no ?), come faccio se c'è $sqrt(-1)$

[dissonance]

E' chiaro che c'è un errore nel testo, già all'inizio c'è una radice quadrata di $x$ ma $x$ assume valori negativi. Fai così, cambia la funzione integranda in $y+\sqrt{|x|}$ e risolvi questo. E ricordati che $z\sqrt{z}=z^{\frac{3}{2}}$ se $z\ge 0$.

[angelo.intile]

"dissonance":E' chiaro che c'è un errore nel testo, già all'inizio c'è una radice quadrata di $x$ ma $x$ assume valori negativi. Fai così, cambia la funzione integranda in $y+\sqrt{|x|}$ e risolvi questo. E ricordati che $z\sqrt{z}=z^{\frac{3}{2}}$ se $z\ge 0$.

Visto che ci sono tutti questi errori ho deciso di lasciarlo perdere questo integrale qua va

Invece in questo integrale
$int int_T (y^2/x^2) dx dy $ con $T={ (x,y)\in RR^2: x^2+y^2<=1, x-y<=sqrt(2), y>=-x, x>=0, y<=0 } $

l'area del dominio T sarebbe questa qua no ?



Poi faccio il cambio di coordinate in coordinate polari e svolgo l'integrale, giusto ?

[Lo_zio_Tom]

e anche qui condizione ridondante... $x-y
io cambierei eserciziario

[angelo.intile]

"tommik":e anche qui condizione ridondante... $x-y
io cambierei eserciziario

Ahahah sono esercizi presi da compiti passati, che mi ha fornito la mia Prof. di analisi