Condizione affinchè \(f\in L^1_{loc}\) sia integrabile
Ciao a tutti! Devo dimostrare che
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) ed esiste una successione \( R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \forall k \quad \Rightarrow f\in L^1(\mathbb{R}^N)\).
Ho pensato di farla così:
Sia \(a_{n,k}:=\int_{|x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu\) (1).
Supponiamo per assurdo che \(f\) non appartenga a \( L^1(\mathbb{R}^N)\) allora \(a_{n,k}\rightarrow\infty,\quad k \rightarrow\infty\).
Inoltre \(a_{n,k}\leq a_{n,k+1}\) e \(a_{n,0}=\int_{|x|\leq R_{n}} |f|d\mu:=b_n\), dunque
\(\exists k_1: a_{n,k_1}\geq b_n+1\quad \Rightarrow \quad \exists k_2>k_1: a_{n,k_2}\geq b_n+2\quad ... \Rightarrow \quad \exists k_n>k_{n-1}: a_{n,k_n}\geq b_n+n\).
Ma allora \(\int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k_n}} |f|d\mu=a_{n,k_n}-b_n\geq n\rightarrow\infty,\quad n\rightarrow\infty\), il che contraddice l'ipotesi. \(\square\)
Vi sembra corretta e sufficientemente rigorosa? Cosa cambiereste? Sono un pò in dubbio sulla definizione che ho dato in (1). Se avete idee alternative...
Grazie in anticipo.
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) ed esiste una successione \( R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \forall k \quad \Rightarrow f\in L^1(\mathbb{R}^N)\).
Ho pensato di farla così:
Sia \(a_{n,k}:=\int_{|x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu\) (1).
Supponiamo per assurdo che \(f\) non appartenga a \( L^1(\mathbb{R}^N)\) allora \(a_{n,k}\rightarrow\infty,\quad k \rightarrow\infty\).
Inoltre \(a_{n,k}\leq a_{n,k+1}\) e \(a_{n,0}=\int_{|x|\leq R_{n}} |f|d\mu:=b_n\), dunque
\(\exists k_1: a_{n,k_1}\geq b_n+1\quad \Rightarrow \quad \exists k_2>k_1: a_{n,k_2}\geq b_n+2\quad ... \Rightarrow \quad \exists k_n>k_{n-1}: a_{n,k_n}\geq b_n+n\).
Ma allora \(\int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k_n}} |f|d\mu=a_{n,k_n}-b_n\geq n\rightarrow\infty,\quad n\rightarrow\infty\), il che contraddice l'ipotesi. \(\square\)
Vi sembra corretta e sufficientemente rigorosa? Cosa cambiereste? Sono un pò in dubbio sulla definizione che ho dato in (1). Se avete idee alternative...
Grazie in anticipo.
Risposte
"Alaska":
Ciao a tutti! Devo dimostrare che
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) ed esiste una successione \( R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \forall k \quad \Rightarrow f\in L^1(\mathbb{R}^N)\).
L'enunciato, così com'è scritto, mi sembra falso. Considera la funzione \(f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}\) definita da
\[
f(x) :=
\begin{cases}
1, &\text{se}\ |x|\leq 1,\\
1/|x|, & \text{se}\ |x| >1.
\end{cases}
\]
Questa funzione è continua, dunque localmente integrabile. Abbiamo inoltre che
\[
\int_{a\leq |x| \leq b} |f| = \omega_N \log(b/a),\qquad 1\leq a < b.
\]
dove \(\omega_N\) è la misura \((N-1)\)-dimensionale di \(S^{N-1}\) (basta, peraltro, considerare solo il caso \(N=1\) con \(\omega_1 = 2\)).
Deduciamo subito, in particolare, che \(f\not\in L^1\).
Prendiamo ora la successione \(R_n := n\). Abbiamo che
\[
\int_{R_n \leq |x| \leq R_{n+k}} |f| = \omega_N \log(1 + \frac{k}{n}).
\]
In particolare, per ogni \(k\) fissato questi integrali tendono a \(0\) per \(n\to +\infty\), dunque \(f\) soddisfa la condizione richiesta (pur non essendo \(L^1\)).
Intanto grazie mille per la risposta esaustiva.
Ti spiego qual è il mio problema. Inizialmente dovevo dimostrare:
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) ed esiste una successione \( R_n \rightarrow \infty : \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+1}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty \quad \Rightarrow f\in L^1(\mathbb{R}^N)\).
Ma è falso e ho mostrato un controesempio, quindi l'ho dimostrato con \(\forall R_n \rightarrow \infty :\)... (al posto di \( \exists R_n\)...). Però questa condizione era molto più forte della precedente quindi volevo trovarne una meno stringente e ho inserito \(R_{n+k}...\quad \forall k \) al posto di \(R_{n+1} \). L'obiettivo chiaramente era ottenere la convergenza a zero della coda dell'integrale
\(lim_{k \rightarrow\infty}\int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu =\int_{|x|\geq R_n} |f|d\mu =0\),
così \(\int_{\mathbb{R}^N} |f|d\mu=\int_{|x|\leq R_n}|f|d\mu+lim_{k \rightarrow\infty}\int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu<\infty\).
Mi hai fatto vedere che, come l'ho messa io, la proposizione è falsa. Secondo te come posso modificare l'ipotesi (a parte con \(\forall R_n \)...) in modo tale da renderla vera?
E cosa ho sbagliato allora nella dimostrazione?
Ti spiego qual è il mio problema. Inizialmente dovevo dimostrare:
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) ed esiste una successione \( R_n \rightarrow \infty : \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+1}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty \quad \Rightarrow f\in L^1(\mathbb{R}^N)\).
Ma è falso e ho mostrato un controesempio, quindi l'ho dimostrato con \(\forall R_n \rightarrow \infty :\)... (al posto di \( \exists R_n\)...). Però questa condizione era molto più forte della precedente quindi volevo trovarne una meno stringente e ho inserito \(R_{n+k}...\quad \forall k \) al posto di \(R_{n+1} \). L'obiettivo chiaramente era ottenere la convergenza a zero della coda dell'integrale
\(lim_{k \rightarrow\infty}\int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu =\int_{|x|\geq R_n} |f|d\mu =0\),
così \(\int_{\mathbb{R}^N} |f|d\mu=\int_{|x|\leq R_n}|f|d\mu+lim_{k \rightarrow\infty}\int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k}} |f|d\mu<\infty\).
Mi hai fatto vedere che, come l'ho messa io, la proposizione è falsa. Secondo te come posso modificare l'ipotesi (a parte con \(\forall R_n \)...) in modo tale da renderla vera?
E cosa ho sbagliato allora nella dimostrazione?
Posto \(a_n := \int_{R_n \leq |x| \leq R_{n+1}} |f|\), devi richiedere che sia convergente la serie \(\sum_n a_n\).
Sicuramente la tua condizione è necessaria e sufficiente, ed è anche immediata da dimostrare.
Mi sembra che vada bene anche (vale il \(\Leftrightarrow\)):
\(\exists R_N : \quad a_n:=\text{sup}_{k\in\mathbb{R}} \int_{R_n\leq|x|\leq R_{n+k}}|f|d\mu\rightarrow 0,\quad n\rightarrow \infty\).
In questo modo non va più bene il tuo controesempio. Che dici?
Ultima domanda: se metto
\(\forall R_n \rightarrow \infty :\int_{R_n\leq|x|\leq R_{n+1}}|f|d\mu\rightarrow 0,\quad n\rightarrow \infty\)
vale anche il viceversa?
Grazie ancora.
Mi sembra che vada bene anche (vale il \(\Leftrightarrow\)):
\(\exists R_N : \quad a_n:=\text{sup}_{k\in\mathbb{R}} \int_{R_n\leq|x|\leq R_{n+k}}|f|d\mu\rightarrow 0,\quad n\rightarrow \infty\).
In questo modo non va più bene il tuo controesempio. Che dici?
Ultima domanda: se metto
\(\forall R_n \rightarrow \infty :\int_{R_n\leq|x|\leq R_{n+1}}|f|d\mu\rightarrow 0,\quad n\rightarrow \infty\)
vale anche il viceversa?
Grazie ancora.
Ma non se n'era parlato già poco tempo fa di questa roba?
Ad ogni modo, se non vedo male, una funzione \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) dovrebbe essere in \(L^1(\mathbb{R}^N)\) se e solo se esiste una successione di compatti \((K_n)\) tale che:
[list=1][*:3gsgrn8n] \(K_n\subseteq K_{n+1}\) e \(\mathbb{R}^N =\bigcup_{n=0}^\infty K_n\)
[/*:m:3gsgrn8n]
[*:3gsgrn8n] esiste un \(M\geq 0\) tale che \(\int_{K_n} |f(x)|\ \text{d} x\leq M\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\);[/*:m:3gsgrn8n][/list:o:3gsgrn8n]
o, equivalentemente, se esiste una successione di compatti \((H_n)\) tale che:
[list=i][*:3gsgrn8n] \(\mathbb{R}^N=\bigcup_{n=0}^\infty H_n\)
[/*:m:3gsgrn8n]
[*:3gsgrn8n] la successione di termine generale \(\int_{\bigcup_{i=0}^n H_i} |f(x)|\ \text{d} x\) è limitata superiormente.[/*:m:3gsgrn8n][/list:o:3gsgrn8n]
Ad ogni modo, se non vedo male, una funzione \(f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) dovrebbe essere in \(L^1(\mathbb{R}^N)\) se e solo se esiste una successione di compatti \((K_n)\) tale che:
[list=1][*:3gsgrn8n] \(K_n\subseteq K_{n+1}\) e \(\mathbb{R}^N =\bigcup_{n=0}^\infty K_n\)
[/*:m:3gsgrn8n]
[*:3gsgrn8n] esiste un \(M\geq 0\) tale che \(\int_{K_n} |f(x)|\ \text{d} x\leq M\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\);[/*:m:3gsgrn8n][/list:o:3gsgrn8n]
o, equivalentemente, se esiste una successione di compatti \((H_n)\) tale che:
[list=i][*:3gsgrn8n] \(\mathbb{R}^N=\bigcup_{n=0}^\infty H_n\)
[/*:m:3gsgrn8n]
[*:3gsgrn8n] la successione di termine generale \(\int_{\bigcup_{i=0}^n H_i} |f(x)|\ \text{d} x\) è limitata superiormente.[/*:m:3gsgrn8n][/list:o:3gsgrn8n]
Ti ringrazio, ma a me servirebbe una correzione di
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) ed esiste una successione \( R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+1}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \Leftrightarrow \quad f\in L^1(\mathbb{R}^N)\)
che la renda vera senza cambiare troppo l'ipotesi. L'altra volta avevamo parlato della dimostrazione con il \(\forall R_n\) solo per il verso \(\Rightarrow\).
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) ed esiste una successione \( R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+1}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \Leftrightarrow \quad f\in L^1(\mathbb{R}^N)\)
che la renda vera senza cambiare troppo l'ipotesi. L'altra volta avevamo parlato della dimostrazione con il \(\forall R_n\) solo per il verso \(\Rightarrow\).
Ci ho ragionato sopra e credo che gli enunciati potrebbero essere 2:
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) e \(\forall R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+1}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \quad \Leftrightarrow \quad f\in L^1(\mathbb{R}^N)\qquad \quad (1)\)
oppure
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) e \( \exists R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k_n}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \forall k_n \quad \Leftrightarrow f\in L^1(\mathbb{R}^N)\quad (2)\).
Per quanto riguarda (1), l'ho dimostrato nel verso \(\Rightarrow\) e se volete posso postare la dimostrazione (ho trovato un post in cui gugo era in dubbio per questo verso), ma penso sia corretta. Credo sia vero anche il viceversa ma vorrei conferma:
\(\forall R_n\) successione crescente di raggi \(\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{B_{R_{n+1}}(0)\cap B_{R_n}(0)}|f|d\mu\leq \int_{\mathbb{R}^N}|f|d\mu<+\infty\), allora la successione va a zero.
Mentre per quanto riguarda (2), non riesco a dimostralo in nessuno dei due versi nonostante ci stia pensando da giorni... Potete aiutarmi? Magari se avete anche solo qualche spunto da darmi...
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) e \(\forall R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+1}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \quad \Leftrightarrow \quad f\in L^1(\mathbb{R}^N)\qquad \quad (1)\)
oppure
se \(f\in L^1_{loc} (\mathbb{R}^N)\) e \( \exists R_n \rightarrow \infty\: \quad \int_{R_n\leq |x|\leq R_{n+k_n}} |f|d\mu \rightarrow 0,\quad n \rightarrow\infty\quad \forall k_n \quad \Leftrightarrow f\in L^1(\mathbb{R}^N)\quad (2)\).
Per quanto riguarda (1), l'ho dimostrato nel verso \(\Rightarrow\) e se volete posso postare la dimostrazione (ho trovato un post in cui gugo era in dubbio per questo verso), ma penso sia corretta. Credo sia vero anche il viceversa ma vorrei conferma:
\(\forall R_n\) successione crescente di raggi \(\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{B_{R_{n+1}}(0)\cap B_{R_n}(0)}|f|d\mu\leq \int_{\mathbb{R}^N}|f|d\mu<+\infty\), allora la successione va a zero.
Mentre per quanto riguarda (2), non riesco a dimostralo in nessuno dei due versi nonostante ci stia pensando da giorni... Potete aiutarmi? Magari se avete anche solo qualche spunto da darmi...
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