Conclusioni sulla ricerca di punti critici in due variabili
Data la funzione
$f(x,y) = x^2y^2-9xy^2+8y^2$
devo trovare i punti di massimo/minimo relativi/assoluti della funzione.
1) trovo che i punti sono $P_1 (a,0)$ e $P_2 (9/2,0)$
2) trovo che, per entrambi i punti, l'Hessiano è $=0$
Dopo aver notato che $P_2$ è dello stesso tipo di $P_1$, procedo con la ricerca locale dei punti.
Pongo:
$ f(x,y) - f(a,0) >=0$
$x^2y^2-9xy^2+8y^2 >=0$
che, raccogliendo:
$y^2(x-8)(x-1)>=0$
e quindi:
- $y^2>=0$
- $x>=8$
- $x>=1$
A questo punto ipotizzo io debba studiare il segno, il problema è che non ho né capito come impostare il grafico dei segni, né che conclusioni ricavarne. Ho guardato più volte la teoria ma ho bisogno di un esempio pratico.
Grazie!
$f(x,y) = x^2y^2-9xy^2+8y^2$
devo trovare i punti di massimo/minimo relativi/assoluti della funzione.
1) trovo che i punti sono $P_1 (a,0)$ e $P_2 (9/2,0)$
2) trovo che, per entrambi i punti, l'Hessiano è $=0$
Dopo aver notato che $P_2$ è dello stesso tipo di $P_1$, procedo con la ricerca locale dei punti.
Pongo:
$ f(x,y) - f(a,0) >=0$
$x^2y^2-9xy^2+8y^2 >=0$
che, raccogliendo:
$y^2(x-8)(x-1)>=0$
e quindi:
- $y^2>=0$
- $x>=8$
- $x>=1$
A questo punto ipotizzo io debba studiare il segno, il problema è che non ho né capito come impostare il grafico dei segni, né che conclusioni ricavarne. Ho guardato più volte la teoria ma ho bisogno di un esempio pratico.
Grazie!
Risposte
Insomma, stai dicendo che dopo tutto questo lavoro ti blocchi sulla disequazione
\[
(x-8)(x-1)\ge 0.\]
(Non ho controllato i tuoi conti ma il procedimento mi pare corretto). Questa disequazione è facile da risolvere, sono sicuro che lo sai fare benissimo, hai solo un blocco psicologico causato dall'insicurezza.
Oh, ho dimenticato il fattore $y^2$. Il luogo dei punti con $y=0$ va unito alla soluzione di quella disequazione.
\[
(x-8)(x-1)\ge 0.\]
(Non ho controllato i tuoi conti ma il procedimento mi pare corretto). Questa disequazione è facile da risolvere, sono sicuro che lo sai fare benissimo, hai solo un blocco psicologico causato dall'insicurezza.
Oh, ho dimenticato il fattore $y^2$. Il luogo dei punti con $y=0$ va unito alla soluzione di quella disequazione.
No, so fare la disequazione: non ho capito se lo studio del segno va effettuato anche 'nel grafico'.
Prendiamo questo esempio:
$f(x,y) = (y-x^2)(y-2x^2)$, che ha come critico solo $P(0,0)$ ed Hessiano nullo.
Pongo $f(x,y) - f(0,0)>=0$ e quindi $f(x,y)>=0$.
A questo punto punto:
a) $(y-x^2)>=0$ per $y>=x^2$ e quindi $y = +-x$
b) $f(y-2x^2)>=0$ per $y>=2x^2$ e quindi $ y= +- sqrt(2) x$
Quindi, graficamente:
- $y>=-x$ v $y>=x$
- $y>=-sqrt(2)x$ v $y>=sqrt(2)x$
che, mettendo insieme sul "grafico finale" mi da che:
- la parte di piano sopra la parabola $y=2x^2$ è positiva
- la parte di piano compresa tra le due parabole è negativa
- la parte di piano sotto la parabola $y=x^2$ è negativa
e quindi $P(0,0)$ è punto di sella.
È corretto cosi?
Prendiamo questo esempio:
$f(x,y) = (y-x^2)(y-2x^2)$, che ha come critico solo $P(0,0)$ ed Hessiano nullo.
Pongo $f(x,y) - f(0,0)>=0$ e quindi $f(x,y)>=0$.
A questo punto punto:
a) $(y-x^2)>=0$ per $y>=x^2$ e quindi $y = +-x$
b) $f(y-2x^2)>=0$ per $y>=2x^2$ e quindi $ y= +- sqrt(2) x$
Quindi, graficamente:
- $y>=-x$ v $y>=x$
- $y>=-sqrt(2)x$ v $y>=sqrt(2)x$
che, mettendo insieme sul "grafico finale" mi da che:
- la parte di piano sopra la parabola $y=2x^2$ è positiva
- la parte di piano compresa tra le due parabole è negativa
- la parte di piano sotto la parabola $y=x^2$ è negativa
e quindi $P(0,0)$ è punto di sella.
È corretto cosi?
Ci sono delle piccole imprecisioni di scrittura ma è corretto. Si fa così.
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