Conclusioni equazione differenziale
Ho la seguente equazione differenziale: $ y'=e^(3x+y) $ .
Se i calcoli sono esatti si arriva alla forma $ (e^(3x+y))/(e^(3x+y)+3)=e^(3x+c) $ .
Ora non so come esplicitare la $ y $. Sicuramente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma non ne esco fuori
. Qualche indizio?
Se i calcoli sono esatti si arriva alla forma $ (e^(3x+y))/(e^(3x+y)+3)=e^(3x+c) $ .
Ora non so come esplicitare la $ y $. Sicuramente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma non ne esco fuori
. Qualche indizio?
Risposte
Beh, il risultato mi pare troppo incasinato... Quindi è probabile ci siano errori di calcolo.
Tieni presente che la EDO è a variabili separabili, in quanto hai:
\[
y^\prime (x) = \mathbf{e}^{3x}\ \mathbf{e}^{y(x)}
\]
per le proprietà delle potenze.
Se, poi, hai assegnato un PdC, prova ad usare l'integrazione definita per risolverlo, senza mettere in giro malefiche costanti di integrazione.
Tieni presente che la EDO è a variabili separabili, in quanto hai:
\[
y^\prime (x) = \mathbf{e}^{3x}\ \mathbf{e}^{y(x)}
\]
per le proprietà delle potenze.
Se, poi, hai assegnato un PdC, prova ad usare l'integrazione definita per risolverlo, senza mettere in giro malefiche costanti di integrazione.
Quello che dici tu è stata la mia prima soluzione.
$ y'=e^(3x+y)=e^(3x)*e^y -> int(dy)/e^y=inte^(3x)dx $ Ponendo $ e^y=t $ si ha $ int1/t*1/tdt=int1/t^2dt=-1/t $ da cui $ -1/e^y=e^(3x)/3+c->y=-log((3)/e^(3x)+c) $ .
Tuttavia la soluzione proposta qui (http://www1.mat.uniroma1.it/people/davi ... nziali.pdf - pag.20) era diversa. Allora ho riprovato con la sostituzione, dato che il testo indicava (giustamente) che la potenza è del tipo $ ax+by $. Allora ho posto $ z=3x+y $ da cui $ int(dz)/(3+e^z)=intdx->int(1)/(3+t)*1/tdt=int1/(t(t+3)dt $ . Si ha poi $ 1/(t(t+3))=(A)/t+(B)/(t+3)=(A(t+3)+Bt)/(t(t+3))=(t(A+B)+3A)/(t(t+3)) $ , da cui $ { ( 3A=1 ),( A+B=0 ):}{ ( A=1/3 ),( B=-1/3 ):} $ quindi, $ 1/3log(t)-1/3log(t+3)=1/3log(e^z)-1/3log(e^z+3) $. A seguire, quindi:
$ 1/3log((e^z)/(e^z+3))=x+c->log((e^z)/(e^z+3))=3x+c $
Ora non so come esplicitare la $ y $ da qua ma controllando con wolframalpha ho visto che si ottiene la soluzione proposta dal link nel testo.
$ y'=e^(3x+y)=e^(3x)*e^y -> int(dy)/e^y=inte^(3x)dx $ Ponendo $ e^y=t $ si ha $ int1/t*1/tdt=int1/t^2dt=-1/t $ da cui $ -1/e^y=e^(3x)/3+c->y=-log((3)/e^(3x)+c) $ .
Tuttavia la soluzione proposta qui (http://www1.mat.uniroma1.it/people/davi ... nziali.pdf - pag.20) era diversa. Allora ho riprovato con la sostituzione, dato che il testo indicava (giustamente) che la potenza è del tipo $ ax+by $. Allora ho posto $ z=3x+y $ da cui $ int(dz)/(3+e^z)=intdx->int(1)/(3+t)*1/tdt=int1/(t(t+3)dt $ . Si ha poi $ 1/(t(t+3))=(A)/t+(B)/(t+3)=(A(t+3)+Bt)/(t(t+3))=(t(A+B)+3A)/(t(t+3)) $ , da cui $ { ( 3A=1 ),( A+B=0 ):}{ ( A=1/3 ),( B=-1/3 ):} $ quindi, $ 1/3log(t)-1/3log(t+3)=1/3log(e^z)-1/3log(e^z+3) $. A seguire, quindi:
$ 1/3log((e^z)/(e^z+3))=x+c->log((e^z)/(e^z+3))=3x+c $
Ora non so come esplicitare la $ y $ da qua ma controllando con wolframalpha ho visto che si ottiene la soluzione proposta dal link nel testo.
Risolvi prima rispetto a $z$ e poi ti trovi la $y$, allora... Comunque trovo il tutto inutilmente complicato.
è esattamente quello che non riesco a fare. ripeto, mi starò perdendo in un bicchiere d'acqua senza dubbio ma non riesco ad esplicitare la $ y $.
"dino!":Cerca di spezzare quella frazione
Qualche indizio?
"dino!":
è esattamente quello che non riesco a fare. ripeto, mi starò perdendo in un bicchiere d'acqua senza dubbio ma non riesco ad esplicitare la $ y $.
Certo che ti perdi in un bicchiere d'acqua... Si tratta di una banale equazione esponenziale, di quelle che si risolvono tra i banchi di scuola.
Prendendo per buoni i passaggi che hai svolto ed usando l'algebra con un po' di disinvoltura, trovi:
\[
\begin{split}
\frac{\mathbf{e}^z}{\mathbf{e}^z + 3} = C\mathbf{e}^{3x} \qquad &\Leftrightarrow \qquad \mathbf{e}^z = C\mathbf{e}^{3x}\ \mathbf{e}^z + 3C\mathbf{e}^{3x}\\
&\Leftrightarrow \qquad \mathbf{e}^z = \frac{3C\mathbf{e}^{3x}}{1-C\mathbf{e}^{3x}}\\
&\Leftrightarrow \qquad z = \log \frac{3C\mathbf{e}^{3x}}{1-C\mathbf{e}^{3x}}
\end{split}
\]
da cui ricavi $y$ per sostituzione a ritroso (poi, se ti va, puoi semplificare qualcosa sfruttando le proprietà del logaritmo...).
Ad ogni modo, il procedimento risolutivo proposto è davvero una schifezza.
"gugo82":
[quote="dino!"]è esattamente quello che non riesco a fare. ripeto, mi starò perdendo in un bicchiere d'acqua senza dubbio ma non riesco ad esplicitare la $ y $.
Certo che ti perdi in un bicchiere d'acqua... Si tratta di una banale equazione esponenziale, di quelle che si risolvono tra i banchi di scuola.
Prendendo per buoni i passaggi che hai svolto ed usando l'algebra con un po' di disinvoltura, trovi:
\[
\begin{split}
\frac{\mathbf{e}^z}{\mathbf{e}^z + 3} = C\mathbf{e}^{3x} \qquad &\Leftrightarrow \qquad \mathbf{e}^z = C\mathbf{e}^{3x}\ \mathbf{e}^z + 3C\mathbf{e}^{3x}\\
&\Leftrightarrow \qquad \mathbf{e}^z = \frac{3C\mathbf{e}^{3x}}{1-C\mathbf{e}^{3x}}\\
&\Leftrightarrow \qquad z = \log \frac{3C\mathbf{e}^{3x}}{1-C\mathbf{e}^{3x}}
\end{split}
\]
da cui ricavi $y$ per sostituzione a ritroso (poi, se ti va, puoi semplificare qualcosa sfruttando le proprietà del logaritmo...).
Ad ogni modo, il procedimento risolutivo proposto è davvero una schifezza.[/quote]
La forma in cui hai esplicitato il secondo membro è diversa da quella a cui sono arrivato io.
Per la "schifezza" invece che dire...è stata proposta da lui (http://www1.mat.uniroma1.it/people/davini/home.html), che a quanto risulta dal suo curriculum è docente di Analisi Superiore alla facoltà di Matematica della Sapienza.
"dino!":
Per la "schifezza" invece che dire...è stata proposta da lui (http://www1.mat.uniroma1.it/people/davini/home.html), che a quanto risulta dal suo curriculum è docente di Analisi Superiore alla facoltà di Matematica della Sapienza.
Anch'io insegno all'università... E una schifezza è una schifezza comunque, anche in Burundi.
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