Concetto di "insieme denso"
Ciao a tutti,
non mi è chiaro il concetto di insieme denso in un altro, in particolare in quali contesti si utilizza e soprattutto la sua utilità in Matematica.
Mi rendo conto che la domanda non è semplice e che è piuttosto generica, tuttavia credo che qualche cosa riusciremo a tirar fuori col proseguire della discussione.
Chi mi aiuta?
non mi è chiaro il concetto di insieme denso in un altro, in particolare in quali contesti si utilizza e soprattutto la sua utilità in Matematica.
Mi rendo conto che la domanda non è semplice e che è piuttosto generica, tuttavia credo che qualche cosa riusciremo a tirar fuori col proseguire della discussione.
Chi mi aiuta?
Risposte
La definizione ti è chiara?
È un concetto che ho incontrato per la prima volta nel caso di \( \mathbb{Q} \) ed \( \mathbb{R} \), sto cercando di capire dove si contestualizzi la definizione più generale (e so che c'è, dato che è un termine che ho incontrato spesso).
In Topologia, è scritto anche qui link. Sia \(X\) uno spazio topologico e \(A,B\subset X\) diremo che \(A\) è denso in \(B\) se \(A^{-}=B\) (la chiusura di \(A\) è uguale a \(B\)). La chiusura di \(A^{-}\) è l'intersezione di tutti i chiusi che contengono \(A\). Per 17.5 Munkres \(A^{-}\) è l'insieme dei punti di aderenza di \(A\): \(x \in X\) t.c. per ogni \(O \in \tau_{X}\) vale \(O\cap A\neq \emptyset\).
Se la topologia è data da una base come in uno spazio metrico, perché \(x\) sia di aderenza è sufficiente verificare la definizione con gli aperti che sono elementi della base (sempre 17.5) \(\mathcal{B}\): \(O=O(y,\epsilon)\in \mathcal{B}\) se è formato da \(z \in X\) t.c. \(\mbox{d}(z,y)<\epsilon\). \(\mathcal{B}\) è detta base perché l'unione arbitraria di sui elementi definisce \(\tau_{X}\) (a cui aggiungi l'insieme vuoto).
La definizione di wiki mi piace di meno, è il caso \(A^{-}=X\). Se \(x \in X\) appartiene anche ad \(A\) allora \(x \in O\cap A\neq \emptyset\). Se \(x \not \in A\) allora \(x \not \in O\cap A\) quindi se \(O\cap A\neq \emptyset\) vale pure \(O\cap A \backslash \{x\}\neq \emptyset\) che è la definizione di punto di accumulazione, quindi: \(x \in X\) appartiene alla chiusura di \(A\) se appartiene ad \(A\) o è un suo punto di accumulazione.
Se la topologia è data da una base come in uno spazio metrico, perché \(x\) sia di aderenza è sufficiente verificare la definizione con gli aperti che sono elementi della base (sempre 17.5) \(\mathcal{B}\): \(O=O(y,\epsilon)\in \mathcal{B}\) se è formato da \(z \in X\) t.c. \(\mbox{d}(z,y)<\epsilon\). \(\mathcal{B}\) è detta base perché l'unione arbitraria di sui elementi definisce \(\tau_{X}\) (a cui aggiungi l'insieme vuoto).
La definizione di wiki mi piace di meno, è il caso \(A^{-}=X\). Se \(x \in X\) appartiene anche ad \(A\) allora \(x \in O\cap A\neq \emptyset\). Se \(x \not \in A\) allora \(x \not \in O\cap A\) quindi se \(O\cap A\neq \emptyset\) vale pure \(O\cap A \backslash \{x\}\neq \emptyset\) che è la definizione di punto di accumulazione, quindi: \(x \in X\) appartiene alla chiusura di \(A\) se appartiene ad \(A\) o è un suo punto di accumulazione.
"Riccardo Desimini":
Ciao a tutti, non mi è chiaro il concetto di insieme denso in un altroì
Se non ti è chiara intuitivamente usa la definizione metrica che ti ho dato. Considera un sottoinsieme \(A\) del piano \(X\): prendendo \(x \in X\) ed un cerchio contenente \(x\), questo cerchio al suo interno ha un qualche elemento di \(A\), per quanto il cerchio sia grande o piccolo.
Ah ok, quindi il concetto di insieme denso è in realtà una proprietà topologica che coinvolge due insiemi.
L'insieme dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \) è uno spazio topologico?
L'insieme dei numeri razionali \( \mathbb{Q} \) è uno spazio topologico?
E' uno spazio metrico quindi è anche uno spazio topologico (comunque in qualsiasi insieme \(X\) puoi definire una topologia, sia anche \(\tau_{X}=\{\emptyset,X\}\)). Prendi \(\mbox{d}(x,y)=|x-y|\) oppure considera la topologia derivante dalla relazione d'ordine: \(O \in \mathcal{B}\) se \(O=(x,y)=\{z \in \mathbb{Q}|x
Considera un insieme tipo \(X=\{a,b,c\}\). Trova una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) i.e. \(\tau_{X}=\{\emptyset,\{a\},...,X\}\) che soddisfa le proprietà che definiscono una topologia. Prendi poi un sottoinsieme \(A\subset X\) e trova la sua chiusura \(B\). Allora \(A\) sarà denso in \(B\).
Considera un insieme tipo \(X=\{a,b,c\}\). Trova una famiglia di sottoinsiemi di \(X\) i.e. \(\tau_{X}=\{\emptyset,\{a\},...,X\}\) che soddisfa le proprietà che definiscono una topologia. Prendi poi un sottoinsieme \(A\subset X\) e trova la sua chiusura \(B\). Allora \(A\) sarà denso in \(B\).
Ti ringrazio per le risposte. Naturalmente, se qualcun altro vuole dire la sua, sono tutto orecchi.
Come ho già notato altrove, esistono almeno due nozioni diverse di "densità": la prima è densità rispetto ad un ordine, la seconda è la densità in senso topologico.
Circa la prima, se \((X,\leq )\) è un insieme totalmente ordinato e \(\Delta \subseteq X\) non è vuoto, si dice che \(\Delta\) è denso in \(X\) rispetto a \(\leq \) se per ogni coppia \(x_1\neq x_2\) esiste \(d\in \Delta\) tale che \(\min \{x_1,x_2\}< d< \max \{x_1,x_2\} \).
Questa è la densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) così come definita all'inizio del corso di Analisi I.
D'altra parte, se \((X,\tau)\) è uno spazio topologico e \(\Delta \subseteq X\), si dice che \(\Delta\) è denso in \(X\) rispetto a \(\tau\) se \(\overline{\Delta}^\tau =X\) (cioé se la chiusura di \(\Delta\) rispetto a \(\tau\) coincide con \(X\)); in spazi topologici "decenti", ciò si può esprimere tranquillamente dicendo che per ogni \(x\in X\) esiste almeno una successione \((d_n)\subseteq \Delta\) tale che \(\lim_n d_n =x\) (col limite preso rispetto a \(\tau\)).
Anche questa densità è posseduta da \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\), così come si vede nel prosieguo del corso di Analisi I (quasi sempre non esplicitando mai la cosa, ma lasciandola intendere).
Per quanto riguarda l'utilità del concetto, beh è presto detto.
Alla buona, in ognuno dei due casi, la proprietà di densità garantisce la possibilità (qualora servisse per semplificare un ragionamento od un conto) di approssimare elementi "brutti" di uno spazio "grande" \(X\) con elementi "carini" di un insieme "più piccolo" \(\Delta\).
Ad esempio, per la densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) è possibile approssimare \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\), \(\gamma\) ed altri numeri "brutti" con numeri razionali mantenendo l'errore assoluto piccolo quanto si vuole.
Oppure, per la densità di \(C_c^\infty (a,b)\) in \(L^p(a,b)\) rispetto alla (topologia indotta dalla) norma, è possibile approssimare ogni funzione di \(L^p\) con funzioni regolarissime; dunque, un teorema che si voglia provare per le funzioni di \(L^p\) si può ricavare con un procedimento di approssimazione dal medesimo teorema acquisito per funzioni \(C_c^\infty\).
Circa la prima, se \((X,\leq )\) è un insieme totalmente ordinato e \(\Delta \subseteq X\) non è vuoto, si dice che \(\Delta\) è denso in \(X\) rispetto a \(\leq \) se per ogni coppia \(x_1\neq x_2\) esiste \(d\in \Delta\) tale che \(\min \{x_1,x_2\}< d< \max \{x_1,x_2\} \).
Questa è la densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) così come definita all'inizio del corso di Analisi I.
D'altra parte, se \((X,\tau)\) è uno spazio topologico e \(\Delta \subseteq X\), si dice che \(\Delta\) è denso in \(X\) rispetto a \(\tau\) se \(\overline{\Delta}^\tau =X\) (cioé se la chiusura di \(\Delta\) rispetto a \(\tau\) coincide con \(X\)); in spazi topologici "decenti", ciò si può esprimere tranquillamente dicendo che per ogni \(x\in X\) esiste almeno una successione \((d_n)\subseteq \Delta\) tale che \(\lim_n d_n =x\) (col limite preso rispetto a \(\tau\)).
Anche questa densità è posseduta da \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\), così come si vede nel prosieguo del corso di Analisi I (quasi sempre non esplicitando mai la cosa, ma lasciandola intendere).
Per quanto riguarda l'utilità del concetto, beh è presto detto.
Alla buona, in ognuno dei due casi, la proprietà di densità garantisce la possibilità (qualora servisse per semplificare un ragionamento od un conto) di approssimare elementi "brutti" di uno spazio "grande" \(X\) con elementi "carini" di un insieme "più piccolo" \(\Delta\).
Ad esempio, per la densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) è possibile approssimare \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\), \(\gamma\) ed altri numeri "brutti" con numeri razionali mantenendo l'errore assoluto piccolo quanto si vuole.
Oppure, per la densità di \(C_c^\infty (a,b)\) in \(L^p(a,b)\) rispetto alla (topologia indotta dalla) norma, è possibile approssimare ogni funzione di \(L^p\) con funzioni regolarissime; dunque, un teorema che si voglia provare per le funzioni di \(L^p\) si può ricavare con un procedimento di approssimazione dal medesimo teorema acquisito per funzioni \(C_c^\infty\).
"gugo82":
D'altra parte, se \((X,\tau)\) è uno spazio topologico e \(\Delta \subseteq X\), si dice che \(\Delta\) è denso in \(X\) rispetto a \(\tau\) se \(\overline{\Delta}^\tau =X\) (cioé se la chiusura di \(\Delta\) rispetto a \(\tau\) coincide con \(X\)); in spazi topologici "decenti", ciò si può esprimere tranquillamente dicendo che per ogni \(x\in X\) esiste almeno una successione \((d_n)\subseteq \Delta\) tale che \(\lim_n d_n =x\) (col limite preso rispetto a \(\tau\)).
Il fatto dell'esistenza di una successione in \(\displaystyle \Delta \) convergente ad un elemento di \(\displaystyle X \) mi pare che sia certamente vero negli spazi topologici metrizzabili, perché in tali spazi un punto \(\displaystyle x \in X \) è di aderenza per \(\displaystyle \Delta \), cioè è nella sua chiusura, se e solo se esiste una successione \(\displaystyle d_n \subseteq \Delta \) convergente a \(\displaystyle x \).
Quali sono gli spazi topologici "non decenti" per cui ciò non vale?
"EdmondDantès":
Quali sono gli spazi topologici "non decenti" per cui ciò non vale?
Ad esempio, spazi topologici non primo-numerabili (per inciso, ricordo che se hai anche una struttura vettoriale compatibile con la topologia, il primo assioma di numerabilità equivale alla metrizzabilità).
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