Concetto di minorante e maggiorante

[Marty <3]

Partendo dalla definizione di minorante e maggiorante (per cui s è minorante di A se preso un qualunque elemento a $ in $ A, s$ <= $a mentre s è maggiorante di A se preso un qualunque elemento a$ in $A, s$ >= $a) mi è venuto un dubbio sul significato di "$ >= $ " e "$ <= $". Non saprei come spiegarlo in modo esauriente, perciò faccio un esempio pratico.

Preso in esame l'insieme A [1,4]= { x$ in $R, 1$ <= $x$ <= $4}, non possiamo dire che praticamente ogni elemento di esso è minorante? Cioè, prendendo ad esempio s=3, 3 è elemento di A, quindi vale la relazione di uguaglianza ed è da considerare tale?

Ho paura sia questione di una confusione sulla definizione, ma finchè non chiarirò il dubbio il mio pensiero ci girerà sempre attorno peggiorando la situazione.

[Shocker1]

Ciao

Non ho capito la domanda. $3$ minorante di $A$? No, perché $2 < 3$ e $2 \in A$, $3$ per essere minorante di $A$ deve essere minore-uguale di OGNI elemento di $A$, per esempio $1$ è un minorante di $A$, ma anche $0$ o qualsiasi numero minore uguale di $1$, invece $4$ è un maggiorante di $A$ così come un qualsiasi numero maggiore di $4$.

[anto_zoolander]

Concettualmente un elemento $s$ è un minorante(il ragionamento per il maggiorante è analogo) per un insieme $A$ se comunque preso un elemento $a$ dell'insieme, risulta che l'elemento $s$ è sempre più piccolo o uguale. Nota che devi porre l'attenzione sul 'comunque preso'. Questa proprietà deve valere per ogni elemento dell'insieme e non soltanto per qualcuno.

ad esempio prendiamo l'insieme $A={x inZZ:2leqxleq5}$

qual è un minorante per l'insieme? $-192$ è un minorante tanto quanto lo è $2$. Questo perché entrambi gli elementi soddisfano la proprietà di essere minore o uguale di un qualsiasi elemento dell'insieme $A$.

In questo caso un minorante è un qualsiasi elemento dell'insieme $S={x inZZ:xleq2}$

Sul discorso del motivo per cui si usa $leq$, provo ad andarci così: ci sono tre concetti che sostanzialmente sono molto legati e sono; minorante(maggiorante), estremo inferiore(superiore), minimo(massimo).

1) il minorante è il più piccolo elemento di un insieme, o qualunque altro elemento più piccolo di ogni elemento dell'insieme.

2) l'estremo inferiore è il più grande minorante per l'insieme(ci guadagni l'unicità)

3) se l'estremo inferiore appartiene all'insieme(quindi se il più grande minorante è un elemento dell'insieme) allora quello si chiama minimo.

è chiaro che una definizione tira l'altra. Se togliessimo l'uguale dalla relazione $leq$ nel caso di un insieme chiuso(quindi del tipo $[a,b]$) come stabiliremmo se un determinato elemento sia di minimo per un insieme? Nota che questo introduce i concetti di massimo e minimo per una funzione.

$S={x inRR:x in(sqrt2,pi)}$

Seguendo il ragionamento di prima, l'insieme $S_m={x inRR:xleqsqrt2}$ contiene tutti i minoranti dell'insieme $S$. In particolare il termine $sqrt2$ rappresenta il più grande minorante per l'insieme $S$ quindi $INF_S=sqrt2$. Nota che non appartiene all'insieme, quindi non si può parlare di minimo.

$S={x inRR:x in[sqrt2,pi)}$

questa volta non solo $sqrt2$ è il più piccolo minorante, ma appartiene anche all'insieme, dunque è anche un minimo!
Poi per ultima cosa, se avessimo un insieme limitato, in questo caso con $<$ avremmo sempre il più piccolo minorante e potremmo definire l'estremo inferiore, ma nel caso di un insieme chiuso, non esisterebbe l'estremo inferiore, perché non potremmo definirlo attraverso il concetto di minorante.

Volendo fare un altro esempio: consideriamo l'insieme $E={9,17,23,47,58,90}$(mi raccomando giocali... ) dove i numeri rappresentano le età di alcune persone.

Come si può intendere un maggiorante dell'insieme? può essere il più grande di tutti, oppure qualcuno anche più grande di lui.