Concetto di distribuzione
Salve sto studiando le distribuzioni. Nel mio corso sono state introdotte per formalizzare il concetto di impulso (delta di dirac).
Per distribuzione io intendo un funzionale lineare e continuo rispetto alla convergenza che ad elementi di uno spazio (spazio delle funzioni test) associa valori reali. Cioè è sempre una legge che ad elementi di un insieme associa elementi di un'altro insieme.
Ma a quanto pare le cose non mi sono molto chiare perché se le cose stessero effettivamente come dico io che necessità c'è di parlare di funzionale e non di funzione?
Secondo voi quale sottile differenza il mio libro vuole marcare fra funzioni e funzionali?
O meglio che cos'è per voi un funzionale?
Mi accontento anche solo di risposte intuitive. Vorrei appunto capire intuitivamente cosa è una distribuzione.
Per distribuzione io intendo un funzionale lineare e continuo rispetto alla convergenza che ad elementi di uno spazio (spazio delle funzioni test) associa valori reali. Cioè è sempre una legge che ad elementi di un insieme associa elementi di un'altro insieme.
Ma a quanto pare le cose non mi sono molto chiare perché se le cose stessero effettivamente come dico io che necessità c'è di parlare di funzionale e non di funzione?
Secondo voi quale sottile differenza il mio libro vuole marcare fra funzioni e funzionali?
O meglio che cos'è per voi un funzionale?
Mi accontento anche solo di risposte intuitive. Vorrei appunto capire intuitivamente cosa è una distribuzione.
Risposte
MOLTO all'ingrosso (di queste cose sono un principiante anche io), si parla di funzionali e non di funzioni perché i funzionali sono "di più". Le funzioni (nel senso di elementi di $L_{loc}^1$) sono troppo poche e creano eccezioni: ad esempio esistono funzioni non derivabili.
Ora una regola intuitiva dell'analisi, di cui parlavamo qualche tempo fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/dua ... 41716.html
dice: "più uno spazio vettoriale è piccolo, più lo spazio duale (quello dei funzionali lineari continui) è grande". Quindi l'idea è di sfruttare questo fatto per costruire un ampliamento dello spazio delle funzioni.
In fondo l'idea è simile a quella dietro i numeri complessi: i numeri reali non sono un ambiente sufficientemente ricco di proprietà per risolvere alcuni problemi come le equazioni algebriche o gli sviluppi in serie di potenze. Per capire a fondo questi problemi, quindi, conviene ampliarli.
Ora una regola intuitiva dell'analisi, di cui parlavamo qualche tempo fa qui:
https://www.matematicamente.it/forum/dua ... 41716.html
dice: "più uno spazio vettoriale è piccolo, più lo spazio duale (quello dei funzionali lineari continui) è grande". Quindi l'idea è di sfruttare questo fatto per costruire un ampliamento dello spazio delle funzioni.
In fondo l'idea è simile a quella dietro i numeri complessi: i numeri reali non sono un ambiente sufficientemente ricco di proprietà per risolvere alcuni problemi come le equazioni algebriche o gli sviluppi in serie di potenze. Per capire a fondo questi problemi, quindi, conviene ampliarli.
Funzionale, come funzione, indica semplicemente una applicazione da un insieme ad un altro
Li chiamano così, quelli che li usano, per sentirsi più importanti
Volendo essere un pelino più seri, si può dire quanto segue.
Nella preistoria fu scoperta la "analisi funzionale". Ovvero, si capì che si potevano immaginare spazi i cui elementi anziché essere i soliti punti erano funzioni.
Estasiati da questa scoperta, sembrava poco rispettoso chiamare "funzione" una applicazione definita su uno "spazio di funzioni". E allora venne fuori il nome "funzionale".
Ora, che la preistoria è finita, quel nome resta per inerzia (come il nome "teoria dei giochi" è rimasto per inerzia).
Quindi, le distribuzioni non sono altro che funzioni definite sullo spazio delle funzioni test ed a valori reali (con poi tutte le precisazioni del caso).
Occorre fare attenzione, con le distribuzioni, perché a certe distribuzioni si può associare una funzione (es: funzione di Heaviside).
Li chiamano così, quelli che li usano, per sentirsi più importanti
Volendo essere un pelino più seri, si può dire quanto segue.
Nella preistoria fu scoperta la "analisi funzionale". Ovvero, si capì che si potevano immaginare spazi i cui elementi anziché essere i soliti punti erano funzioni.
Estasiati da questa scoperta, sembrava poco rispettoso chiamare "funzione" una applicazione definita su uno "spazio di funzioni". E allora venne fuori il nome "funzionale".
Ora, che la preistoria è finita, quel nome resta per inerzia (come il nome "teoria dei giochi" è rimasto per inerzia).
Quindi, le distribuzioni non sono altro che funzioni definite sullo spazio delle funzioni test ed a valori reali (con poi tutte le precisazioni del caso).
Occorre fare attenzione, con le distribuzioni, perché a certe distribuzioni si può associare una funzione (es: funzione di Heaviside).
Confermo quanto scritto sopra - "funzionale" indica tipicamente un'applicazione definita su uno
spazio di funzioni a valori reali (o complessi). Potresti incontrare applicazioni da uno spazio di funzioni ad un altro di funzioni che invece si usa chiamare "operatori" .
Per esempio l'integrale (definito) e' un funzionale la derivata e' un operatore.
Volevo invece proporti delle suggestioni (che ho elaborato dopo lunghe riflessioni) per capire
il punto di vista delle distribuzioni - chiedo conferme/commenti anche agli altri utenti del forum.
Partiamo dal concetto di funzione che si e' rivelato una nozione fondamentale per "modellizare gli oggetti fisici".
Per esempio noi conosciamo la distribuzione di temperatura di una sbarra se conosciamo una funzione $t(x)$ che per ogni $x$ (posizione) ci restituisce un numero $t(x)$ (=temperatura nella posizione $x$).
Per semplicita' (???) pensiamo a una sbarra di lunghezza infinita di modo che $x$ varia in $RR$ (potremmo sempre pensare che $t(x)=0$ dove la sbarra finsce). Si puo' obiettare:
Ma e' realistico pensare di conoscere la temperatura $t(x)$ ESATTAMENTE nel punto $x$ (per ogni $x$)?
Quale termometro potra' mai tenere conto del SOLO punto $x$? Nessuno ovviamente.
E' piu' plausibile che cio' che potremo misurare sia una media della temperatura attorno a $x$, cioe'
$t(x,h)=\frac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}t(y)dy$ con $h$ tanto piu' piccolo quanto piu' il termometro e' preciso.
Ma anche questo "termometro integrale" non si incontra tutti i giorni dato che riesce a distinguere ESATTAMENTE i punti in $[x-h,x+h]$ e quelli fuori.
Un termometro piu' realistico dara' un risultato del tipo
$T_\phi(t) =\frac{\int_{RR}t(y)\phi(y) dy}{\int_{RR}\phi(y) dy}$
dove $\phi$ e' una funzione regolare "concentrata attorno a $x$" ( tanto piu' concentrata tanto piu' la misura di $t(x)$ sara' precisa).
Nota che il caso intermedio corrisponderebbe a prendere $\phi(x)=1$ se $x-h\leq x\leq x+h$ e zero fuori (ma tale $\phi$ non e' regolare).
Seguendo questa idea possiamo ritenere che ogni $\phi$ regolare (=infinitamente derivabile) e nulla
fuori da un intervallo corrisponda a un "termometro" $T_\phi$ che effettua solo la misurazione
(*) $T_\phi(t)=\int_{RR}t(y)\phi(y) dy$
(rispetto alla formula precedente ho inglobato il denominatore in $\phi$). Conoscere la temperatura
$t$ equivale conoscere il risultato di $T_\phi(t)$ per ogni "termometro $T_\phi$" e cioe' per ogni $phi$ nell'insieme dei test $D$ (= funzioni infinitamente derivabili e nulle fuori da un intervallo).
Quest'ultima affermazione e' un teorema: date due funzioni $t_1$ e $t_2$ se $T_\phi(t_1)=T_\phi(t_2)$ per ogni $\phi$ in $D$ allora $t_1=t_2$ (beh, con qualche precisazione - detto cosi' e' vero se $t_1$ e $t_2$ sono continue).
Questo approccio sposta il punto di vista dalle funzioni $t$ che conosco mediante il loro valore $t(x)$ punto per punto alle funzioni $t$ che conosco mediante il risultato di $T_\phi(t)$ per ogni $\phi$.
Se analizzo formalmente il secondo punto di vista mi accorgo che , a $t$ fissata, l'applicazione
$\phi\mapsto L(\phi):=T_\phi(t)$ e' LINEARE (questo ha un significato fisico, che mi pare sia chiamato principio di sovrapposizione) ed e' continua in qualche senso, e' cioe' un funzionale lineare e continuo sulle $\phi$ (cioe' sullo spazio dei test).
La cosa interessante e' che di tali funzionali non ci sono solo quelli ottenuti a partire da una funzione $t$, come nella (*), ma ce ne sono altri, per esempio $L_0(\phi)=\phi(0)$ e' di questa razza ma non c'e' nessuna funzione $t$ che messa in (*) mi dia $L_0(\phi)$ per ogni $\phi$ - questa $L_0$ e' la distribuzione $\delta$, che si immagina come un impulso unitario in zero.
A questo punto parte la teoria.
spazio di funzioni a valori reali (o complessi). Potresti incontrare applicazioni da uno spazio di funzioni ad un altro di funzioni che invece si usa chiamare "operatori" .
Per esempio l'integrale (definito) e' un funzionale la derivata e' un operatore.
Volevo invece proporti delle suggestioni (che ho elaborato dopo lunghe riflessioni) per capire
il punto di vista delle distribuzioni - chiedo conferme/commenti anche agli altri utenti del forum.
Partiamo dal concetto di funzione che si e' rivelato una nozione fondamentale per "modellizare gli oggetti fisici".
Per esempio noi conosciamo la distribuzione di temperatura di una sbarra se conosciamo una funzione $t(x)$ che per ogni $x$ (posizione) ci restituisce un numero $t(x)$ (=temperatura nella posizione $x$).
Per semplicita' (???) pensiamo a una sbarra di lunghezza infinita di modo che $x$ varia in $RR$ (potremmo sempre pensare che $t(x)=0$ dove la sbarra finsce). Si puo' obiettare:
Ma e' realistico pensare di conoscere la temperatura $t(x)$ ESATTAMENTE nel punto $x$ (per ogni $x$)?
Quale termometro potra' mai tenere conto del SOLO punto $x$? Nessuno ovviamente.
E' piu' plausibile che cio' che potremo misurare sia una media della temperatura attorno a $x$, cioe'
$t(x,h)=\frac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}t(y)dy$ con $h$ tanto piu' piccolo quanto piu' il termometro e' preciso.
Ma anche questo "termometro integrale" non si incontra tutti i giorni dato che riesce a distinguere ESATTAMENTE i punti in $[x-h,x+h]$ e quelli fuori.
Un termometro piu' realistico dara' un risultato del tipo
$T_\phi(t) =\frac{\int_{RR}t(y)\phi(y) dy}{\int_{RR}\phi(y) dy}$
dove $\phi$ e' una funzione regolare "concentrata attorno a $x$" ( tanto piu' concentrata tanto piu' la misura di $t(x)$ sara' precisa).
Nota che il caso intermedio corrisponderebbe a prendere $\phi(x)=1$ se $x-h\leq x\leq x+h$ e zero fuori (ma tale $\phi$ non e' regolare).
Seguendo questa idea possiamo ritenere che ogni $\phi$ regolare (=infinitamente derivabile) e nulla
fuori da un intervallo corrisponda a un "termometro" $T_\phi$ che effettua solo la misurazione
(*) $T_\phi(t)=\int_{RR}t(y)\phi(y) dy$
(rispetto alla formula precedente ho inglobato il denominatore in $\phi$). Conoscere la temperatura
$t$ equivale conoscere il risultato di $T_\phi(t)$ per ogni "termometro $T_\phi$" e cioe' per ogni $phi$ nell'insieme dei test $D$ (= funzioni infinitamente derivabili e nulle fuori da un intervallo).
Quest'ultima affermazione e' un teorema: date due funzioni $t_1$ e $t_2$ se $T_\phi(t_1)=T_\phi(t_2)$ per ogni $\phi$ in $D$ allora $t_1=t_2$ (beh, con qualche precisazione - detto cosi' e' vero se $t_1$ e $t_2$ sono continue).
Questo approccio sposta il punto di vista dalle funzioni $t$ che conosco mediante il loro valore $t(x)$ punto per punto alle funzioni $t$ che conosco mediante il risultato di $T_\phi(t)$ per ogni $\phi$.
Se analizzo formalmente il secondo punto di vista mi accorgo che , a $t$ fissata, l'applicazione
$\phi\mapsto L(\phi):=T_\phi(t)$ e' LINEARE (questo ha un significato fisico, che mi pare sia chiamato principio di sovrapposizione) ed e' continua in qualche senso, e' cioe' un funzionale lineare e continuo sulle $\phi$ (cioe' sullo spazio dei test).
La cosa interessante e' che di tali funzionali non ci sono solo quelli ottenuti a partire da una funzione $t$, come nella (*), ma ce ne sono altri, per esempio $L_0(\phi)=\phi(0)$ e' di questa razza ma non c'e' nessuna funzione $t$ che messa in (*) mi dia $L_0(\phi)$ per ogni $\phi$ - questa $L_0$ e' la distribuzione $\delta$, che si immagina come un impulso unitario in zero.
A questo punto parte la teoria.
Faccio notare che più o meno lo stesso ragionamento può essere fatto rifacendosi agli urti (piuttosto che alle temperature) i quali, come tutti i fenomeni impulsivi, si rappresentano con l'uso della $delta$ di Dirac.
"Gugo82":
Faccio notare che più o meno lo stesso ragionamento può essere fatto rifacendosi agli urti (piuttosto che alle temperature) i quali, come tutti i fenomeni impulsivi, si rappresentano con l'uso della $delta$ di Dirac.
La temperatura era un esempio - io pero' volevo mettere in evidenza un punto di vista "sulle funzioni" (indipendentemente dalla delta e dagli sviluppi successivi) - cosa vuol dire
vedere una funzione $u$ nell'ambito delle distribuzioni ? vuol dire conoscerla solo tramite $T_\phi(u)$ per ogni $\phi$ e questo mi sembrava suggestivo interpretarlo
vedendo $\phi$ come un "apparecchio" che effettua una (particolare) misurazione (tento di evitare il termine misura .. ) della quantita' $u$.
Naturalmente questo e' interessante dati gli sviluppi che ne derivano.
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