Concetto continuità funzione
Ciao a tutti, mi sono appena iscritto al Forum ed ho notato che siete veramente gentili e competenti.
Il mio problema riguarda il concetto di continuità; ho capito che una funzione è continua se e solo se esiste il limite finito in un punto e che coincida con il valore che assume la funzione in quel punto,fin qui non ci sono problemi.
Se ad esempio però ho la funzione:
$f(x)=1/x$ che ha come dominio $R-{0}$ essa è automaticamente non continua nel punto $x=0$ perché non si trova nel suo dominio oppure no?
Dico questo perché sul mio libro di analisi quando parla del concetto di continuità dice che se un punto non appartiene al dominio della funzione allora non ha senso ne di parlare di continuità ne di non continuità,però poi quando parla di estensioni continue e di discontinuità rimovibili riguardo la funzione $ (x^2-x)/(x^2-1) $ dice che essa ha una discontinuità rimovibile in $x=1$ però questo punto non appartiene al dominio quindi per quello che ha detto prima non ha senso di parlare di discontinuità.
Mi potreste aiutare a fare chiarezza in merito.
Vi ringrazio per la disponibilità
Il mio problema riguarda il concetto di continuità; ho capito che una funzione è continua se e solo se esiste il limite finito in un punto e che coincida con il valore che assume la funzione in quel punto,fin qui non ci sono problemi.
Se ad esempio però ho la funzione:
$f(x)=1/x$ che ha come dominio $R-{0}$ essa è automaticamente non continua nel punto $x=0$ perché non si trova nel suo dominio oppure no?
Dico questo perché sul mio libro di analisi quando parla del concetto di continuità dice che se un punto non appartiene al dominio della funzione allora non ha senso ne di parlare di continuità ne di non continuità,però poi quando parla di estensioni continue e di discontinuità rimovibili riguardo la funzione $ (x^2-x)/(x^2-1) $ dice che essa ha una discontinuità rimovibile in $x=1$ però questo punto non appartiene al dominio quindi per quello che ha detto prima non ha senso di parlare di discontinuità.
Mi potreste aiutare a fare chiarezza in merito.
Vi ringrazio per la disponibilità
Risposte
Benvenuto.
Se un punto non appartiene al dominio della funzione, non è possibile calcolare il valore della funzione in quel punto, quindi non c'è speranza che sia continua (lasciandola così com'è).
Tuttavia, se il limite della funzione intorno a quel punto esiste finito, è possibile prolungare la funzione per continuità, ponendo per definizione il valore della funzione in quel punto pari al limite finito trovato.
Nel tuo caso specifico, il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \]
non esiste, pertanto tale estensione non è possibile (in questo caso si parla di discontinuità di seconda specie).
Nell'altro caso, hai
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{x^2-1} = \frac{1}{2} \]
pertanto il limite esiste finito, ma la funzione non è definita in \( x = 1 \). In questo caso si parla di discontinuità di terza specie (o, appunto, eliminabile) e si può in questo caso prolungare la funzione per continuità ponendo per definizione \( f(1) = \frac{1}{2} \). La funzione estesa è continua in \( x = 1 \).
Se un punto non appartiene al dominio della funzione, non è possibile calcolare il valore della funzione in quel punto, quindi non c'è speranza che sia continua (lasciandola così com'è).
Tuttavia, se il limite della funzione intorno a quel punto esiste finito, è possibile prolungare la funzione per continuità, ponendo per definizione il valore della funzione in quel punto pari al limite finito trovato.
Nel tuo caso specifico, il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \]
non esiste, pertanto tale estensione non è possibile (in questo caso si parla di discontinuità di seconda specie).
Nell'altro caso, hai
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{x^2-1} = \frac{1}{2} \]
pertanto il limite esiste finito, ma la funzione non è definita in \( x = 1 \). In questo caso si parla di discontinuità di terza specie (o, appunto, eliminabile) e si può in questo caso prolungare la funzione per continuità ponendo per definizione \( f(1) = \frac{1}{2} \). La funzione estesa è continua in \( x = 1 \).
Ciao, si la situazione ora mi è più chiara però imbattendomi in un'altra funzione mi è sorto un dubbio:
se ho la funzione $f(x)=x^2sin(1/x)$ essa ha dominio $R-{0}$ però $\lim_{x \to \0}x^2sin(1/x)$ $=0$ perciò $x=0$ è un punto di discontinuità rimovibile; per questo il mio libro dice che,per via della discontinuità di terza specie, è possibile definire una nuova funzione F(x) in questo modo:
$F(x)={(x^2sin(1/x),if x!=0),(\lim_{x \to \0}x^2sin(1/x)=0,if x=0):}$
Però a questo punto il dominio della funzione è tutto $R$?
Perché Wolframalpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 281%2Fx%29
da $x=0$ esclusa dal dominio ?
se ho la funzione $f(x)=x^2sin(1/x)$ essa ha dominio $R-{0}$ però $\lim_{x \to \0}x^2sin(1/x)$ $=0$ perciò $x=0$ è un punto di discontinuità rimovibile; per questo il mio libro dice che,per via della discontinuità di terza specie, è possibile definire una nuova funzione F(x) in questo modo:
$F(x)={(x^2sin(1/x),if x!=0),(\lim_{x \to \0}x^2sin(1/x)=0,if x=0):}$
Però a questo punto il dominio della funzione è tutto $R$?
Perché Wolframalpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 281%2Fx%29
da $x=0$ esclusa dal dominio ?
Il dominio di \( F \) è \( \mathbb{R} \), mentre quello di \( f \) è \( \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace \). Wolframalpha ti dice il dominio di \( f \), che è diverso da quello di \( F \) perché \( f \) e \( F \) non sono la stessa funzione.
Infatti se A, B insieme non vuoti, una funzione (o applicazione) da A in B è ogni coppia del tipo
$ f=(AxB,G) $, con $ Gsube AxB $ e tale che ogni elemento di A compare una e una sola volta come prima componente di un elemento di G.
" da un qualsiasi testo di algebra"
Saluti
Mino
$ f=(AxB,G) $, con $ Gsube AxB $ e tale che ogni elemento di A compare una e una sola volta come prima componente di un elemento di G.
" da un qualsiasi testo di algebra"
Saluti
Mino
Quindi in sostanza da quello che ho capito se una funzione ha un punto di discontinuità di terza specie è una scelta quella di eliminare quel punto di discontinuità oppure no. E' così?
Cioè non è detto che se c'è un punto di terza discontinuità allora per forza bisogna rimuoverlo(visto che wolframalpha non lo fa)
Cioè non è detto che se c'è un punto di terza discontinuità allora per forza bisogna rimuoverlo(visto che wolframalpha non lo fa)
[ot]OT (ma neanche tanto!)
Ti butto lì uno spunto di riflessione. Prodi, nel suo capolavoro "Analisi Matematica", introduce i limiti nel seguente modo:
Questo approccio topologico come vedi fonda la nozione di limite su quella di funzione continua e il "problema" per cui si introducono i limiti è proprio quello di "rattoppare" funzioni non continue rendendole continue
Affascinante no?
Vi lascio alla vostra discussione
[/ot]
Ti butto lì uno spunto di riflessione. Prodi, nel suo capolavoro "Analisi Matematica", introduce i limiti nel seguente modo:
Questo approccio topologico come vedi fonda la nozione di limite su quella di funzione continua e il "problema" per cui si introducono i limiti è proprio quello di "rattoppare" funzioni non continue rendendole continue
Affascinante no?
Vi lascio alla vostra discussione
[/ot]
Ciao emar ti ringrazio per la risposta ma è mezz'ora che la leggo ma non riesco a collegarla alla mia domanda. Mi dispiace ma purtroppo ancora non sono al vostro livello
No, non è necessario rimuovere niente. Una funzione $f$ se è discontinua in qualche intervallo è discontinua e basta.
Se per qualche motivo è necessario rimuovere la discontinuità perché "serve" a qualche altro scopo, allora, talvolta ma non sempre, si può definire una funzione $F$ ad hoc estendendo in modo opportuno la funzione $f$ primaria.
Ma rimarranno sempre due funzioni diverse e separate: una discontinua e l'altra no.
Cordialmente, Alex
Se per qualche motivo è necessario rimuovere la discontinuità perché "serve" a qualche altro scopo, allora, talvolta ma non sempre, si può definire una funzione $F$ ad hoc estendendo in modo opportuno la funzione $f$ primaria.
Ma rimarranno sempre due funzioni diverse e separate: una discontinua e l'altra no.
Cordialmente, Alex
Ok perfetto. Scusate se insisto su una cosa ma ancora non mi e chiara al 100% : sul mio libro c'e scritto che se un punto non appartiene al dominio della funzione allora non ha senso parlare di continuità/discontinuità in quel punto e fa l'esempio della funzione $f(x)=1/x$(Dicendo che essa e continua in $x=0$ perchè esso non appartiene al dominio) però poi classifica il punto $x=0$ come punto di discontinuità di seconda specie. Non è una contraddizione?
Potresti riportare parola per parola la frase del tuo libro? Mi sembra molto strano.
Ecco:
Mi riferisco all'esempio 4
Mi riferisco all'esempio 4
il fatto è che quando si dà una definizione ci possono essere delle diversità di vedute
la maggioranza dei testi universitari ti dice che non ha senso dire che $x=0$ è un punto di discontinuità per $f(x)=1/x$
una minoranza,con la stessa sicurezza,ti dice che lo è
per non parlare dei testi delle scuole superiori,che sono al 100% d'accordo con la minoranza dei testi universitari
la maggioranza dei testi universitari ti dice che non ha senso dire che $x=0$ è un punto di discontinuità per $f(x)=1/x$
una minoranza,con la stessa sicurezza,ti dice che lo è
per non parlare dei testi delle scuole superiori,che sono al 100% d'accordo con la minoranza dei testi universitari
"gianni_mate":
Ok perfetto. Scusate se insisto su una cosa ma ancora non mi e chiara al 100% : sul mio libro c'e scritto che se un punto non appartiene al dominio della funzione allora non ha senso parlare di continuità/discontinuità in quel punto e fa l'esempio della funzione $f(x)=1/x$(Dicendo che essa e continua in $x=0$ perchè esso non appartiene al dominio) però poi classifica il punto $x=0$ come punto di discontinuità di seconda specie. Non è una contraddizione?
E dove la direbbe sta cosa il tuo libro? A me non pare proprio che lo affermi da qualche parte!
se vuoi scoprire se una funziona è continua oppure no in un certo punto a me hanno insegnato che bisogna calcolare il limite destro e sinistro nel punto "problematico", se i 2 limiti coincidono (limite di destra e sinistra di quel punto) allora la funzione è continua in quel punto, altrimenti no. Nel tuo esempio nell'intorno di x=0 abbiamo che il limite dx va a +infinito e il limite sx va a - infinito. Poi il fatto che se non appartiene al dominio quel punto è "ovvio" che il limite non potrà mai coincidere....
Altro discorso è se tu "prolunghi la continuità" dicendo che in x=0 la funzione vale 2x per esempio e per x diverso da 0 vale 1/x, allora in questo caso penso che la funzione sia continua...ma non vorrei dire una castronata su quest'ultimo punto...perchè penso non sia sempre così...qualcuno può far chiarezza magari?
Altro discorso è se tu "prolunghi la continuità" dicendo che in x=0 la funzione vale 2x per esempio e per x diverso da 0 vale 1/x, allora in questo caso penso che la funzione sia continua...ma non vorrei dire una castronata su quest'ultimo punto...perchè penso non sia sempre così...qualcuno può far chiarezza magari?
X ciampax: allora il libro afferma solo la prima parte mentre su altri libri, ma anche su wikipedia( http://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_discontinuità ),dice che il punto $x=0$ per la funzione $1/x$ è un punto di discontinuità di seconda specie.
Prima mi sono dimenticato di dirlo,il mio libro afferma che nella funzione $(x^2-x)/(x^2-1)$ il punto $x=1$ è un punto di discontinuità di terza specie(eliminabile).
Ma ripeto perché dice che quel punto,non appartenente al dominio,è un punto di discontinuità anche se precedentemente ha affermato che se un punto non sta nel dominio non ha senso parlare di continuità/discontinuità?
Prima mi sono dimenticato di dirlo,il mio libro afferma che nella funzione $(x^2-x)/(x^2-1)$ il punto $x=1$ è un punto di discontinuità di terza specie(eliminabile).
Ma ripeto perché dice che quel punto,non appartenente al dominio,è un punto di discontinuità anche se precedentemente ha affermato che se un punto non sta nel dominio non ha senso parlare di continuità/discontinuità?
Quando si parla di continuità è bene chiarire in quale insieme.
$x \mapsto \frac{1}{x}$ è continua nel suo dominio massimale $RR - {0}$ ma è discontinua (così com'è) in $RR$. Spesso quando si parla di continuità si parla di continuità nell'insieme ambiente, che in questo caso è $RR$. Quindi si dice che $x \mapsto \frac{1}{x}$ è discontinua sotto intendendo in $RR$ e non nel suo dominio massimale.
$x \mapsto \frac{1}{x}$ è continua nel suo dominio massimale $RR - {0}$ ma è discontinua (così com'è) in $RR$. Spesso quando si parla di continuità si parla di continuità nell'insieme ambiente, che in questo caso è $RR$. Quindi si dice che $x \mapsto \frac{1}{x}$ è discontinua sotto intendendo in $RR$ e non nel suo dominio massimale.
"gianni_mate":
Ok perfetto. Scusate se insisto su una cosa ma ancora non mi e chiara al 100% : sul mio libro c'e scritto che se un punto non appartiene al dominio della funzione allora non ha senso parlare di continuità/discontinuità in quel punto e fa l'esempio della funzione $f(x)=1/x$(Dicendo che essa e continua in $x=0$ perchè esso non appartiene al dominio) però poi classifica il punto $x=0$ come punto di discontinuità di seconda specie. Non è una contraddizione?
I punti di discontinuità per una funzione sono i punti di accumulazione per il dominio che non gli appartengono e i punti di accumulazione del suo dominio in cui la funzione non è continua.
Da Fiorenza-Greco
lezioni di analisi 1 pag. 189
"Mino_01":
I punti di discontinuità per una funzione sono i punti di accumulazione per il dominio che non gli appartengono e i punti di accumulazione del suo dominio in cui la funzione non è continua.
Da Fiorenza-Greco
lezioni di analisi 1 pag. 189
molti testi universitari non sono d'accordo
ma,ripeto,secondo me non si sta tenendo conto del fatto che si sta parlando di una definizione
in pratica,qualunque sia la definizione ,l'importante è aver chiaro cosa stia succedendo a livello analitico e grafico alla funzione $1/x$ nel punto $x=0$
Mettiamola così.
Sia \( f : D_f \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Se tu nella definizione di continuità chiedi che \( x_0 \in \mathbb{R} \) sia un punto di accumulazione per \( D_f \), allora ogni volta che \( x_0 \notin D_f \) la funzione \( f \) è sicuramente discontinua in \( x = x_0 \) ed ha senso in tal caso classificare il tipo di discontinuità.
Se invece chiedi espressamente che \( x_0 \in D_f \), allora non ha senso parlare di discontinuità in punti che non siano in \( D_f \).
Nel tuo caso specifico, adottando il primo approccio, \( x_0 = 0 \) è di accumulazione per il dominio di \( f : x \mapsto \frac{1}{x} \) e quindi ha senso parlare di continuità e di discontinuità in tale punto; in particolare, dato che \( 0 \notin D_f \) risulta che la funzione è discontinua (di seconda specie).
Se invece scegli di adottare il secondo approccio, la funzione \( f \) è continua perché lo è in ogni punto del suo dominio.
Sia \( f : D_f \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Se tu nella definizione di continuità chiedi che \( x_0 \in \mathbb{R} \) sia un punto di accumulazione per \( D_f \), allora ogni volta che \( x_0 \notin D_f \) la funzione \( f \) è sicuramente discontinua in \( x = x_0 \) ed ha senso in tal caso classificare il tipo di discontinuità.
Se invece chiedi espressamente che \( x_0 \in D_f \), allora non ha senso parlare di discontinuità in punti che non siano in \( D_f \).
Nel tuo caso specifico, adottando il primo approccio, \( x_0 = 0 \) è di accumulazione per il dominio di \( f : x \mapsto \frac{1}{x} \) e quindi ha senso parlare di continuità e di discontinuità in tale punto; in particolare, dato che \( 0 \notin D_f \) risulta che la funzione è discontinua (di seconda specie).
Se invece scegli di adottare il secondo approccio, la funzione \( f \) è continua perché lo è in ogni punto del suo dominio.
"porzio":
[quote="Mino_01"]I punti di discontinuità per una funzione sono i punti di accumulazione per il dominio che non gli appartengono e i punti di accumulazione del suo dominio in cui la funzione non è continua.
Da Fiorenza-Greco
lezioni di analisi 1 pag. 189
molti testi universitari non sono d'accordo
ma,ripeto,secondo me non si sta tenendo conto del fatto che si sta parlando di una definizione
in pratica,qualunque sia la definizione ,l'importante è aver chiaro cosa stia succedendo a livello analitico e grafico alla funzione $1/x$ nel punto $x=0$[/quote]
Porzio
in che senso?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo