Concetto continuità funzione
Ciao a tutti, mi sono appena iscritto al Forum ed ho notato che siete veramente gentili e competenti.
Il mio problema riguarda il concetto di continuità; ho capito che una funzione è continua se e solo se esiste il limite finito in un punto e che coincida con il valore che assume la funzione in quel punto,fin qui non ci sono problemi.
Se ad esempio però ho la funzione:
$f(x)=1/x$ che ha come dominio $R-{0}$ essa è automaticamente non continua nel punto $x=0$ perché non si trova nel suo dominio oppure no?
Dico questo perché sul mio libro di analisi quando parla del concetto di continuità dice che se un punto non appartiene al dominio della funzione allora non ha senso ne di parlare di continuità ne di non continuità,però poi quando parla di estensioni continue e di discontinuità rimovibili riguardo la funzione $ (x^2-x)/(x^2-1) $ dice che essa ha una discontinuità rimovibile in $x=1$ però questo punto non appartiene al dominio quindi per quello che ha detto prima non ha senso di parlare di discontinuità.
Mi potreste aiutare a fare chiarezza in merito.
Vi ringrazio per la disponibilità
Il mio problema riguarda il concetto di continuità; ho capito che una funzione è continua se e solo se esiste il limite finito in un punto e che coincida con il valore che assume la funzione in quel punto,fin qui non ci sono problemi.
Se ad esempio però ho la funzione:
$f(x)=1/x$ che ha come dominio $R-{0}$ essa è automaticamente non continua nel punto $x=0$ perché non si trova nel suo dominio oppure no?
Dico questo perché sul mio libro di analisi quando parla del concetto di continuità dice che se un punto non appartiene al dominio della funzione allora non ha senso ne di parlare di continuità ne di non continuità,però poi quando parla di estensioni continue e di discontinuità rimovibili riguardo la funzione $ (x^2-x)/(x^2-1) $ dice che essa ha una discontinuità rimovibile in $x=1$ però questo punto non appartiene al dominio quindi per quello che ha detto prima non ha senso di parlare di discontinuità.
Mi potreste aiutare a fare chiarezza in merito.
Vi ringrazio per la disponibilità
Risposte
in che senso "in che senso" ?
Molti autori non sono d' accordo?
sì,come già detto in un altro post,la posizione di Fiorenza-Greco è in netta minoranza nella comunità matematica
ripeto,a costo di scandalizzare qualcuno,a me invece non sembra una questione da non dormirci la notte..
ripeto,a costo di scandalizzare qualcuno,a me invece non sembra una questione da non dormirci la notte..
Ragazzi si tratta veramente di una questione puramente di definizione e di poca importanza.
Come detto nel mio precedente post, se quando si parla di continuità si fa sempre riferimento all'insieme non sorge alcun tipo di problema.
Come detto nel mio precedente post, se quando si parla di continuità si fa sempre riferimento all'insieme non sorge alcun tipo di problema.
"porzio":
sì,come già detto in un altro post,la posizione di Fiorenza-Greco è in netta minoranza nella comunità matematica
ripeto,a costo di scandalizzare qualcuno,a me invece non sembra una questione da non dormirci la notte..
Certamente non è cosa di estrema importanza.
Purtroppo non sono uno specialista.
Ma come la pensano gli altri ?
la posizione di "maggioranza" ritiene che abbia senso parlare di discontinuità solo per i punti appartenenti al dominio
quindi ad esempio,se hai la funzione
$f(x)=2x+5$ per $ x!=3 $
ed
$f(x)=4$ per $x=3$
ha senso parlare di punto di discontinuità perchè $x=3$ fa parte del dominio della funzione
quindi ad esempio,se hai la funzione
$f(x)=2x+5$ per $ x!=3 $
ed
$f(x)=4$ per $x=3$
ha senso parlare di punto di discontinuità perchè $x=3$ fa parte del dominio della funzione
Giusto per imparare ... 
Grazie
Mino
Grazie
Mino
prego
ciao
ciao
"porzio":
sì,come già detto in un altro post,la posizione di Fiorenza-Greco è in netta minoranza nella comunità matematica
ripeto,a costo di scandalizzare qualcuno,a me invece non sembra una questione da non dormirci la notte..
Si hai ragione non è una cosa da non dormirci la notte però ai fini dell'esame potrebbe tornare utile; mi spiego meglio:
se ti capita una domanda come questa:
"La funzione $1/x$ è continua ? Vero o Falso"
Ora se prendiamo come definizione quella che considera discontinui solo i punti compresi nel dominio allora sarà falsa mentre per quell'altra definizione sarà vera
e tu dagli la risposta che vogliono
tutto sta a sapere a quale scuola di pensiero appartiene il titolare della cattedra
tutto sta a sapere a quale scuola di pensiero appartiene il titolare della cattedra
Nel dubbio, guarda sugli appunti delle lezioni come è stata definita la continuità; se non hai appunti sull'argomento, vai dal professore e gli chiedi qual è la definizione da lui adottata.
"gianni_mate":
Si hai ragione non è una cosa da non dormirci la notte però ai fini dell'esame potrebbe tornare utile;
E tu dagliele tutte e due le definizioni, così come lo ha ben spiegato Riccardo.
Beninteso dopo aver usato la tattica di porzio
Cmq, se guardiamo la sostanza della cosa $1/x$ è discontinua; all'atto pratico, affermare il contrario IMHO, può creare disorientamento nello studente, o cmq in colui che sta imparando.
E quando dico discontinua, intendo "anche" nel suo dominio, Sarebbe, secondo me, più corretto parlare di continuità nei "due" singoli intervalli di definizione che di continuità nel dominio. In un certo senso, il fatto che il dominio sia costituito da più intervalli fa "cadere" il concetto stesso di funzione continua. Ci si dovrebbe sempre limitare a parlare di continuità in "un" intervallo. IMHO, ovviamente.
Cordialmente, Alex
P.S.: il vecchio consiglio di considerare continua una funzione il cui grafico può essere disegnato "senza staccare la matita dal foglio", sarà grossolano, ma funziona ...
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