[concetti base] Def. di R come campo ordinato completo
In una dispensa di Analisi 1 viene definito l'insieme R. Prima viene esposta la necessità di ampliare Q per "accogliere" grandezze incommensurabili, dopodiché si dice:
"DEFINIZIONE. L'insieme R dei reali è un campo ordinato completo".
Poi si spiega la nozione di completezza.
Balza all'occhio la differenza con cui sono definiti gli altri insiemi numerici nell'algebra, in modo costruttivo (ecco il numero naturale $2: {\Phi, {\Phi}}$ ecc.).
In questo caso invece si introduce l'"oggetto numeri reali" dicendo semplicemente che è tale da verificare determinate proprietà (essere campo ordinato completo). Qui mi chiedo: è sempre possibile, in matematica, introdurre oggetti tali da avere determinate proprietà, o devo domandarmi, in qualche modo, se il mio oggetto è "possibile"? In questo caso: "Esiste davvero un campo ordinato completo?" (ovviamente sì, ma è per capire la tipologia di definizione). Suppongo sia "sbagliato" porre questa domanda perché, finché la nozione di "campo ordinato completo" non mi porta a contraddizione, posso usarla. Giusto? Vale sempre?
La seconda domanda, che forse ha più senso della prima, è: R è l'unico campo ordinato completo possibile, e quindi la mia definizione è univoca? O meglio, se S è un campo ordinato completo diverso da R, è in corrispondenza biunivoca con R, in modo che posso identificare i due insiemi?
[se la risposta coinvolge nozioni di algebra, ancora non le ho, a parte qualche concetto sui gruppi]
"DEFINIZIONE. L'insieme R dei reali è un campo ordinato completo".
Poi si spiega la nozione di completezza.
Balza all'occhio la differenza con cui sono definiti gli altri insiemi numerici nell'algebra, in modo costruttivo (ecco il numero naturale $2: {\Phi, {\Phi}}$ ecc.).
In questo caso invece si introduce l'"oggetto numeri reali" dicendo semplicemente che è tale da verificare determinate proprietà (essere campo ordinato completo). Qui mi chiedo: è sempre possibile, in matematica, introdurre oggetti tali da avere determinate proprietà, o devo domandarmi, in qualche modo, se il mio oggetto è "possibile"? In questo caso: "Esiste davvero un campo ordinato completo?" (ovviamente sì, ma è per capire la tipologia di definizione). Suppongo sia "sbagliato" porre questa domanda perché, finché la nozione di "campo ordinato completo" non mi porta a contraddizione, posso usarla. Giusto? Vale sempre?
La seconda domanda, che forse ha più senso della prima, è: R è l'unico campo ordinato completo possibile, e quindi la mia definizione è univoca? O meglio, se S è un campo ordinato completo diverso da R, è in corrispondenza biunivoca con R, in modo che posso identificare i due insiemi?
[se la risposta coinvolge nozioni di algebra, ancora non le ho, a parte qualche concetto sui gruppi]
Risposte
Io lo conosco come "campo ordinato continuo". La risposta alla tua domanda e' si: R e' l unico campo ordinato continuo a meno di isomorfismi. Qualunque struttura soddisfi gli assiomi di campo ordinato continuo e' isomorfa ad R. Quindi la struttura di R e' univocamente determinata da quegli assiomi.
Cercati la nozione di isomorfismo se non la conosci. Comunque e' una funzione biettiva che preserva la struttura algebrica, quindi l'ordine e le operazioni definite.
Ah ok, ho capito il senso generale, grazie! Come definizione di isomorfismo, ne conosco una fra insiemi che avevo fatto al liceo, all'epoca, ma non serve qui perché coinvolge le operazioni. Devo cercare "isomorfismo tra campi"? o "isomorfismo fra gruppi"? Perché forse ce ne sono di diversi tipi.
Ha l'aria di essere importante questa cosa... sono lunghi i "preliminari" per questa dimostrazione? Se non sono lunghi, provo a farla, altrimenti so che esiste, per un domani
"FE":
Qualunque struttura soddisfi gli assiomi di campo ordinato e' isomorfa ad R
Ha l'aria di essere importante questa cosa... sono lunghi i "preliminari" per questa dimostrazione? Se non sono lunghi, provo a farla, altrimenti so che esiste, per un domani
@jitter, sicuramente avrai sentito parlare di definizione assiomatica di \( \Bbb{R}\) 
; per il resto prova a guardare nelle dispense di Zanardo 
[ot]tra le tante definizione di \( \Bbb{R}\) questa è quella che preferisco maggiormente[/ot]
; per il resto prova a guardare nelle dispense di Zanardo [ot]tra le tante definizione di \( \Bbb{R}\) questa è quella che preferisco maggiormente[/ot]
Devo cercare "isomorfismo tra campi"? o "isomorfismo fra gruppi"? Perché forse ce ne sono di diversi tipi.
L'idea è sempre la stessa e la declini a seconda della ricchezza delle strutture algebriche su cui lavori. Detto in modo terra terra tutte le cose strutturalmente importanti tipo un l'ordine o le operazioni vengono preservate da un isomorfismo. Comunque prima di addentrarti oltre dovresti prendere in mano l'algebra più che l'analisi per queste questioni.
Anche per quanto riguarda la questione di prima sulla differenza con le altre classi numeriche, in realtà nessuno mi vieta di definire l'insieme dei razionali come il sottocampo di R generato dall'insieme {1}, di definire Z come il sottogruppo di R generato da {1}, e infine di definire i naturali semplicemente come gli interi positivi. Una volta definito R in modo assiomatico, posso definire tutte le classi numeriche di conseguenza.
"FE":non capisco come intendi definire \( \Bbb{N}\), come una sottostruttura che eredita le operazioni da \( \Bbb{R}\)? Puoi dire qualcosa in più, sono curioso...
e infine di definire i naturali semplicemente come gli interi positivi
Te lo chiedo perché l'unico modo da me studiato per definire \( \Bbb{N}\) "dentro" \( \Bbb{R}\), preso assiomaticamente, è come l'insieme \( \bigcap\{S \subseteq \Bbb{R}|S \text{ è induttivo}\}\); mi hanno parlato di un recente metodo ma devo trovare la fonte in primis![size=50]*in mente avrei qualche metodo lecito di definire \( \Bbb{Z}\) e conseguentemente \( \Bbb{N}\) ma devo rispolverare qualche articolo e link...[/size]
@jitter: Hai ragione a sentire puzza di bruciato. Questa di definire \(\mathbb{R}\) è una faccenda delicata che però purtroppo è fondamentale per la coerenza della teoria matematica, e quindi va affrontata all'inizio di ogni percorso didattico. Per questo spesso nei libri trovi delle (utili) scappatoie come questa della definizione assiomatica, che è evidentemente ridondante: se io postulo l'esistenza di \(\mathbb{R}\), dopo aver postulato l'esistenza dei numeri naturali, e di quelli razionali, poi logicamente potrei arrivare a postulare l'esistenza di qualsiasi cosa in completa libertà. Non è così che funziona in generale.
Difatti, esistono delle *costruzioni* di \(\mathbb{R}\) a partire da \(\mathbb{Q}\). (Cerca la parola chiave "Dedekind cuts"). In alternativa, si può postulare la sola esistenza di \(\mathbb{R}\) come campo ordinato e continuo lineare (i.e. dotato della proprietà del sup e tale che se \(x
In entrambi gli approcci serve poi, per chiudere il cerchio, un teorema di isomorfismo come quello citato da FE, che ti dice sostanzialmente "non importa come definisci i numeri reali, tanto alla fine troverai essenzialmente sempre la stessa cosa". E' per questo che uno può tranquillamente dimenticarsi della particolare definizione usata e trattare i numeri reali a cuor leggero, cosa che in effetti tutti fanno. Infatti, io stesso non credo che questa faccenda fondazionale sia particolarmente importante. Meglio spazzarla sotto il tappeto e dedicarsi a cose matematiche veramente interessanti.
Difatti, esistono delle *costruzioni* di \(\mathbb{R}\) a partire da \(\mathbb{Q}\). (Cerca la parola chiave "Dedekind cuts"). In alternativa, si può postulare la sola esistenza di \(\mathbb{R}\) come campo ordinato e continuo lineare (i.e. dotato della proprietà del sup e tale che se \(x
In entrambi gli approcci serve poi, per chiudere il cerchio, un teorema di isomorfismo come quello citato da FE, che ti dice sostanzialmente "non importa come definisci i numeri reali, tanto alla fine troverai essenzialmente sempre la stessa cosa". E' per questo che uno può tranquillamente dimenticarsi della particolare definizione usata e trattare i numeri reali a cuor leggero, cosa che in effetti tutti fanno. Infatti, io stesso non credo che questa faccenda fondazionale sia particolarmente importante. Meglio spazzarla sotto il tappeto e dedicarsi a cose matematiche veramente interessanti.
@Dissonance: la tua risposta mi è stata veramente utile. Al liceo pensavo di aver carpito l'essenza della matematica quando mi hanno insegnato che tutto, dagli assiomi "in poi", va dimostrato fino nei meandri. Invece mi pare di intuire vagamente che c'è molto di più, nello "spirito" della matematica, oltre al suo meccanismo deduttivo (e nel suo meccanismo deduttivo stesso). E' in questo, tra l'altro, che riconosco l'utilità - potendo - del frequentare le lezioni: non per capire la catena dei ragionamenti, che anzi forse si comprende meglio nella calma (o nel casino) della propria casa e con i propri tempi, ma per avere spiegazioni come questa, che spesso sui libri non si trovano, o non si trovano al momento giusto.
"garnak.olegovitc":
prova a guardare nelle dispense di Zanardo
Non posso fare a meno di condividere. Quelle dispense (segnalatemi qui da Delirium e garnak.olegovitc che da vero maleducato ho dimenticato di ringraziare a tempo debito, e ne approfitto per farlo ora) hanno risolto in un colpo e definitivamente tutti i dubbi che avevo sull'argomento numeri reali, sono davvero ottime.
[ot]Giusto per la cronaca: se solo avessi girato pagina, invece di perdere tutta la serata... avrei trovato anche sulla dispensa alcune delle risposte che cercavo ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Mi strozzerei. A volte mi inchiodo su un punto un sacco di tempo per poi accorgermi che è spiegato immediatamente dopo. Vabbè, comunque alla fine ne è valsa la pena lo stesso e ho incollato nei miei appunti alcune delle vostre osservazioni.[/ot]
Mi strozzerei. A volte mi inchiodo su un punto un sacco di tempo per poi accorgermi che è spiegato immediatamente dopo. Vabbè, comunque alla fine ne è valsa la pena lo stesso e ho incollato nei miei appunti alcune delle vostre osservazioni.[/ot]
dissonance ha scritto:
spesso nei libri trovi delle (utili) scappatoie come questa della definizione assiomatica
Non riesco a capire in che modo la definizione assiomatica dovrebbe essere una scappatoia. E' probabile in realtà che io non abbia capito a cosa ti riferivi nel tuo intervento con " definizione assiomatica". In ogni caso cerco sia bene mettere in chiaro la cosa.
Uno può certamente decidere di costruirsi i reali a partire dai razionali utilizzando le successioni di Cauchy, edificando progressivamente tutte le classi numeriche partendo dall'unico concetto di insieme vuoto.
Ma l'altra strada, che detta in modo rozzo getta degli assiomi talmente forti che qualunque modello di numeri reali uno abbia in testa purché li soddisfi andrà bene e non ci saranno differenze dal punto di vista matematico, è una strada altrettanto legittima e non è in alcun modo una scappatoia.
Le due strade si rifanno semmai a scuole di pensiero e di filosofia differenti, una più vicina al realismo e l'altra al formalismo ( a me piacciono entrambe) , ma non sono in alcun modo in contraddizione ( né mai potrebbero esserlo!) e qualunque giudizio di merito su una delle due è filosofia non matematica.
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