Concavità e derivata seconda studio di funzione irrazionale
Buonasera a tutti, sto studiando una funzione dell'esame di matematica e vorrei controllare insieme a voi la derivata seconda...
$y=root(5)((x^2 -1)^7)$
$D: x<-1 $ e $ x>1$
$y'=(14x*root(5)((x^2 -1))^2)/(5)$
$y''=14/5(1*(x^2 -1)^(5/2) + x(5/2)*(x^2 -1)^(3/2)*2x)$
$= 14/5((x^2 -1)^(5/2) +x(5x(x^2 -1))^(3/2))$
$= ((14(x^2 -1)^(5/2))/(5)) + 14x^2(x^2 -1)^(3/2)$
$= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(3/2))/(5)$
$= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(3/2))/(5) * (x^2 -1)/(x^2 -1)$
$= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(5/2))/(5*(x^2 -1)$
$= (x(14+70x)(x^2 -1)^(5/2))/(5*(x^2 -1)$
a questo punto ho analizzato le concavità... secondo voi ho sbagliato qualcosa nel procedimento? Anche perchè non mi trovo con il disegno che dovrei ottenere...
Attendo vostri consigli...
Grazie a tutti
$y=root(5)((x^2 -1)^7)$
$D: x<-1 $ e $ x>1$
$y'=(14x*root(5)((x^2 -1))^2)/(5)$
$y''=14/5(1*(x^2 -1)^(5/2) + x(5/2)*(x^2 -1)^(3/2)*2x)$
$= 14/5((x^2 -1)^(5/2) +x(5x(x^2 -1))^(3/2))$
$= ((14(x^2 -1)^(5/2))/(5)) + 14x^2(x^2 -1)^(3/2)$
$= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(3/2))/(5)$
$= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(3/2))/(5) * (x^2 -1)/(x^2 -1)$
$= (14x(x^2 -1)^(5/2)+70x^2(x^2 -1)^(5/2))/(5*(x^2 -1)$
$= (x(14+70x)(x^2 -1)^(5/2))/(5*(x^2 -1)$
a questo punto ho analizzato le concavità... secondo voi ho sbagliato qualcosa nel procedimento? Anche perchè non mi trovo con il disegno che dovrei ottenere...
Attendo vostri consigli...
Grazie a tutti
Risposte
$root(5)(a^2)=a^(2/5)$ e non $a^(5/2)$ che hai erroneamente usato nel fare i calcoli della derivata seconda, inoltre correggi la derivata prima, hai dimenticato di scrivere il fattore $x$ anche se sicuramente lo avevi, visto la sua comparsa nella derivata seconda.
"@melia":
[...]
Grazie mille per la risposta
Ero proprio convinto con quella trasformazione in esponenziale
Grazie ancora... domattina la rifaccio
Ho rifatto la derivata ma non mi trovo... qualsiasi dritta è ben accetta...
$14/5*(1*(x^2 -1)^(2/5) + x(2/5(x^2 -1)^(-3/5)*2x))$
$14/5((x^2 -1)^(2/5) + 4/5x^2 (x^2 -1)^-(3/5))$
$14/5((5(x^2 -1)^(2/5) +4x^2 (x^2 -1)^-(3/5))/(5)) $
$(14(x^2 -1)^(2/5))/5 + (56x^2 (x^2 -1)^-(3/5))/25 $
$(70(x^2 -1)^(2/5) + 56x^2 (x^2 -1)^-(3/5) *(x^2 -1))/25 *(1)/(x^2 -1)$
$(70(x^2 -1)^(2/5) + 56x^2 (x^2 -1)^(2/5))/(25(x^2 -1))$
$((x^2 -1)^(2/5)(56x^2 +70))/(25(x^2 -1))$
da qui ho studiato:
$root(5)((x^2 -1)^(2)) >0$ sempre tranne quando $x=1$ e $x=-1$
$56x^2 +70>0$ quindi $x^2> -5/4$ sempre
$25>0$ sempre
$(x^2 -1)>0$ se $x<-1$ e $x>1$
$14/5*(1*(x^2 -1)^(2/5) + x(2/5(x^2 -1)^(-3/5)*2x))$
$14/5((x^2 -1)^(2/5) + 4/5x^2 (x^2 -1)^-(3/5))$
$14/5((5(x^2 -1)^(2/5) +4x^2 (x^2 -1)^-(3/5))/(5)) $
$(14(x^2 -1)^(2/5))/5 + (56x^2 (x^2 -1)^-(3/5))/25 $
$(70(x^2 -1)^(2/5) + 56x^2 (x^2 -1)^-(3/5) *(x^2 -1))/25 *(1)/(x^2 -1)$
$(70(x^2 -1)^(2/5) + 56x^2 (x^2 -1)^(2/5))/(25(x^2 -1))$
$((x^2 -1)^(2/5)(56x^2 +70))/(25(x^2 -1))$
da qui ho studiato:
$root(5)((x^2 -1)^(2)) >0$ sempre tranne quando $x=1$ e $x=-1$
$56x^2 +70>0$ quindi $x^2> -5/4$ sempre
$25>0$ sempre
$(x^2 -1)>0$ se $x<-1$ e $x>1$
Fino a qui viene così anche a me $ y''=(14(x^2 -1)^(2/5))/5 + (56x^2 (x^2 -1)^-(3/5))/25 $, a seguire ci sono dei problemi di calcolo algebrico, hai fatto il denominatore comune in modo scorretto.
Mi ero dimenticata di segnalarti questo errore:
$ D: x<-1 vv x>1 $
Il dominio di un radicale ad indice dispari coincide con il dominio del radicando e non con la sua positività. In questo caso, quindi, il dominio della funzione è $RR$, mentre quello della derivata seconda è $RR-{-1, 1}$
Mi ero dimenticata di segnalarti questo errore:
$ D: x<-1 vv x>1 $
Il dominio di un radicale ad indice dispari coincide con il dominio del radicando e non con la sua positività. In questo caso, quindi, il dominio della funzione è $RR$, mentre quello della derivata seconda è $RR-{-1, 1}$
"@melia":
[...]
Grazie per le dritte che mi stai dando
Il dominio è un erroraccio mio, grazie che me l'hai fatto notare... come hai detto tu, quella scrittura si usa nello studio del segno e no del dominio anche perchè le radici ad N dispari hanno $D=R$...Per quanto riguarda il mcm, come deve essere calcolato?
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