Concavità e convessità
Ciao ragazzi, ho bisogno di due chiarimenti:
1) Perchè una funzione $f(x,y)$ è convessa su un insieme $A$ anch'esso convesso se e solo se la sua matrice Hessiana è semidefinita positiva per ogni punto appartenente ad $A$?
2) Se la funzione avesse l'Hessiano semidefinito positivo per ogni punto appartenente ad $A$, ma con $A$ concavo e non convesso, cosa succede? (non capisco perchè $A$ debba essere necessariamente convesso).
Grazie!!!
Alexp
1) Perchè una funzione $f(x,y)$ è convessa su un insieme $A$ anch'esso convesso se e solo se la sua matrice Hessiana è semidefinita positiva per ogni punto appartenente ad $A$?
2) Se la funzione avesse l'Hessiano semidefinito positivo per ogni punto appartenente ad $A$, ma con $A$ concavo e non convesso, cosa succede? (non capisco perchè $A$ debba essere necessariamente convesso).
Grazie!!!
Alexp
Risposte
Si', per ogni $x \in A$ e per ogni $v \in RR^n$ deve essere
$v^T (Hf(x)) v \ge 0$.
$v^T (Hf(x)) v \ge 0$.
Quindi in questo caso l'autovalore simboleggia la derivata seconda nel punto, lungo ogni sezione data dalla direzione di $v$?
Una domanda fuori dalle righe......un diffeomorfismo è definito come una fuzione tra due varietà differenziabili con la prprietà di essere differenziabile invertibile e di avere l'inversa differenziabile.....ora una funzione $y=x^2$ è o no un diffeomorfismo essendo la funzione inversa non differenziabile in zero?
Una domanda fuori dalle righe......un diffeomorfismo è definito come una fuzione tra due varietà differenziabili con la prprietà di essere differenziabile invertibile e di avere l'inversa differenziabile.....ora una funzione $y=x^2$ è o no un diffeomorfismo essendo la funzione inversa non differenziabile in zero?
Si', a meno di un cambiamento di coordinate si'.
Quanto a $y=x^2$ non si tratta nemmeno di una funzione invertibile.
Quanto a $y=x^2$ non si tratta nemmeno di una funzione invertibile.
Si, hai ragione!!! 
In rete ho trovato un pdf sulle condizioni di ottimalità, in cui ad un certo punto scrive:
$v^T(Derivata del gradiente di f)v=curvatura$ sinceramente capisco che la derivata del gradiente sia la matrice hessiana, ma non capisco come colleghino la curvatura...so che la derivata seconda in $ds$ della sezione della superficie (espressa vettorialmente) mi da il vettore curvatura che poi moltiplicato per $N$ si ha la curvatura normale, espreimibile come il rapporto tra la seconda forma quadratica fondamentale e la prima, ma essendo l'hessiano composto dalle derivate seconde della superficie espressa scalarmente, non collego il ragionamento.....puoi essermi d'aiuto?
In rete ho trovato un pdf sulle condizioni di ottimalità, in cui ad un certo punto scrive:
$v^T(Derivata del gradiente di f)v=curvatura$ sinceramente capisco che la derivata del gradiente sia la matrice hessiana, ma non capisco come colleghino la curvatura...so che la derivata seconda in $ds$ della sezione della superficie (espressa vettorialmente) mi da il vettore curvatura che poi moltiplicato per $N$ si ha la curvatura normale, espreimibile come il rapporto tra la seconda forma quadratica fondamentale e la prima, ma essendo l'hessiano composto dalle derivate seconde della superficie espressa scalarmente, non collego il ragionamento.....puoi essermi d'aiuto?
Moralmente la curvatura deve essere "la derivata seconda della parametrizzazione", poiche' e' quella derivata che ti indica quanto rapidamente lo spazio tangente (cioe' la "derivata prima") sta cambiando, ovvero quanto la superficie e' curva. Che poi venga esattamente quell'espressione e' perche' in realta' non hai una parametrizzazione, ma quella formula ti da' la curvatura del grafico della funzione $f$.
Ma se la parametrizzazione è espressa come funzione del paramentro $t$ la curvatura è
$d^2f(t)/ds^2$ giusto, non $d^2f(t)/dt^2$....sbaglio?
$d^2f(t)/ds^2$ giusto, non $d^2f(t)/dt^2$....sbaglio?
Non capisco la notazione...
Si.....con $d^2f(t)/ds^2$ intendo la derivata seconda di f in s (dove s è la lunghezza della curva), mentre con $d^2f(t)/dt^2$ intendo la derivata seconda di f in t (con t parametro della curva).....l'espressione che da la curvatura ossia quanto lo spazio tangente stà cambiando è la prima non la seconda, giusto?
S', certo, devi derivare rispetto alla lunghezza d'arco e prendere la norma del vettore derivata seconda.
Ma quindi l'espressione $v^T(Derivata del gradiente di f)v$ coincide proprio con la curvatura lungo la sezione segnata da $v$? nel senso, se provo a calcolare la curvatura di una funzione lungo la direzione $v$, parametrizzando ed usando le formule di Frenet ottengo lo stesso risultato? oppure l'espressione $v^T(Derivata del gradiente di f)v$ non è propriamente la curvatura?
Questo oggetto e' la derivata seconda della funzione
$f$ nel punto $x$ rispetto alla direzione $v$; essa non coincide con la curvatura del grafico di $f$. Se $f$ "lungo la direzione di $v$" parametrizza una curva per lunghezza d'arco allora si' quella e' la curvatura.
$f$ nel punto $x$ rispetto alla direzione $v$; essa non coincide con la curvatura del grafico di $f$. Se $f$ "lungo la direzione di $v$" parametrizza una curva per lunghezza d'arco allora si' quella e' la curvatura.
scusami ma cosa intendi con..."nel caso $f$ "lungo la direzione di $v$" parametrizza una curva per lunghezza d'arco"....? così la curva potrebbe non appartenere alla superficie
Allora dipende da cosa intendi con $f$: tu affermi che sta scritto che quella quantita' $v^T(Hf)v$ e' la curvatura, ma di cosa? $f$ parametrizza una superficie? oppure del grafico di $f$?
Ti cito testuali parole:"..per una funzione $f(x)$ due volte continuamente differenziabile, viene definito curvatura della funzione nel punto $x$ e nella direzione $d$ il termine
$d^T*nabla^2(f)*d$". (ti ho scritto nabla^2 perchè il triangolino rovesciato al quadrato non potevo scriverlo).
A te la sentenza!
$d^T*nabla^2(f)*d$". (ti ho scritto nabla^2 perchè il triangolino rovesciato al quadrato non potevo scriverlo).
A te la sentenza!
Ok, e' la curvatura della curva tracciata sul grafico di $f$ che e' l'immagine della retta di equazione vettoriale $x+td$. In realta' non e' esattamente la curvatura come definita in Geometria differenziale, ma e' comunque legata, essendo una derivata seconda.
Ma sarebbe la derivata seconda della superficie lungo la direzione $d$, niente di più, giusto? il termine curvatura è dunque un abbuso di linguaggio?
Si', e' un abuso nel senso che non e' la curvatura della geometria differenziale, anche se e' una quantita' che in un certo senso misura la curvatura del grafico.
Scusami se sembro tonto, ma mi confermi che è una semplice derivata seconda di $f$, giusto?
quindi si può dire che è un'indicatrice della concavità, più che di curvatura?
quindi si può dire che è un'indicatrice della concavità, più che di curvatura?
Non e' solo un indicatore della concavita', perche' per la concavita' ti basta il segno della derivata seconda. Ma quanto e' grande in valore assoluto la derivata seconda ti dice quanto rapidamente sta cambiando la derivata prima, quindi e' un indicatore di curvatura del grafico di $f$ lungo quella sezione. Che poi non sia esattamente la curvatura della geometria differenziale non conta molto. C'e' un caso in cui le cose coincidono: se prendi una curva piana che e' grafico della funzione regolare $y=f(x)$ e se il parametro $t$, con il quale si puo' parametrizzare tale curva con $\alpha(t)=(t,f(t))$, e' la lughezza d'arco, allora effettivamente hai che la curvatura di $\alpha$ e' proprio $|f''|$.
Ahhhhhhhh ok!!!!
Ma secondo te quale dei due casi intenderà l'esercizio? intende curvatura perchè è parametrizzata in modo che la derivata seconda renda la curvatura vera e propria, oppure pensi sia un abuso di linguaggio come asserivamo precedentemente?
Ma secondo te quale dei due casi intenderà l'esercizio? intende curvatura perchè è parametrizzata in modo che la derivata seconda renda la curvatura vera e propria, oppure pensi sia un abuso di linguaggio come asserivamo precedentemente?
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