Concavità e convessità
Salve, avrei una domanda sulla definizione di funzione concava e convessa. Io oltre la classica definizione della retta che biseca il grafico, guardo l'epigrafo (la porzione di piano che sta sopra al grafico) della funzione e se è convesso dico che è convessa. Tuttavia sembra che in economia si usi la notazione opposta, ossia che la funzione è convessa quando la porzione di piano che sta sotto al grafico è convessa.
Ciò che mi chiedo è, c'è qualche motivo storico o di coerenza notazionale con qualche risultato, che ha portato alla definizione di convessità di una funzione intesa come la vediamo noi matematici, oppure abbiamo solo scelto una delle due possibili interpretazioni e ci siamo adeguate a quella?
Ciò che mi chiedo è, c'è qualche motivo storico o di coerenza notazionale con qualche risultato, che ha portato alla definizione di convessità di una funzione intesa come la vediamo noi matematici, oppure abbiamo solo scelto una delle due possibili interpretazioni e ci siamo adeguate a quella?
Risposte
Sei sicuro che in economia si usi la convezione opposta? Può darsi, a me però non è capitato.
"gabriella127":
Può darsi, a me però non è capitato.
a me sì.
@materia: In Economia di cose matematiche strane ce ne sono tante...la più comune (e che da studente di ragioneria mi faceva rimbambire) è che domanda ed offerta, funzioni del prezzo, hanno la variabile indipendente (prezzo) in ordinate mentre quella dipendente (quantità) sulle ascisse.
E questo su TUTTI i testi sacri di microeconomia.
Perché? perché Alfred Marshall era un tipo singolare....
EDIT: per non parlare della Statistica
Lo stimatore di massima verosimiglianza è l'$"argsup"$ della verosimiglianza....ma siccome chi legge di Statistica non è "molto avvezzo" a cose come $"sup"$ oppure $"inf"$ allora su molti testi tale stimatore viene definito come $argmax$...
Ecco una nota in un testo di riferimento per quanto riguarda la Statistica di base
E' vero, in economia capita di trovare cose strane di matematica.
Che definiscano concava una funzione con epigrafico convesso non mi è capitato, però a voi sì.
Spero che il motivo non sia che l'economista di turno si confonde con le bacinelle... una bacinella nel linguaggio comune è concava.
Quando mi è capitato di spiegare questa cosa della convessità a qualche studente gli ho sempre detto di stare attento, perché è il contrario del linguaggio comune.
Che definiscano concava una funzione con epigrafico convesso non mi è capitato, però a voi sì.
Spero che il motivo non sia che l'economista di turno si confonde con le bacinelle... una bacinella nel linguaggio comune è concava.
Quando mi è capitato di spiegare questa cosa della convessità a qualche studente gli ho sempre detto di stare attento, perché è il contrario del linguaggio comune.
"materia":
Salve, avrei una domanda sulla definizione di funzione concava e convessa. Io oltre la classica definizione della retta che biseca il grafico, guardo l'epigrafo (la porzione di piano che sta sopra al grafico) della funzione e se è convesso dico che è convessa. Tuttavia sembra che in economia si usi la notazione opposta, ossia che la funzione è convessa quando la porzione di piano che sta sotto al grafico è convessa.
Ciò che mi chiedo è, c'è qualche motivo storico o di coerenza notazionale con qualche risultato, che ha portato alla definizione di convessità di una funzione intesa come la vediamo noi matematici, oppure abbiamo solo scelto una delle due possibili interpretazioni e ci siamo adeguate a quella?
Puoi dare un riferimento? Sarei curioso di vederlo scritto (su un libro).
Eh sì Sergio, è giusto, questi sono le teste di serie dell'economia matematica.
D'altra parte è una definizione da primo anno di analisi.
Ma è possibile che qualche economista de' noantri si confonda tra bacinelle e dossi.
Guarda che è una mia cattiveria, non avendo esempi concreti, ma mi viene il sospetto.
Non è che gli economisti siano scemi o impreparati, per carità. Ma è possibile che abbiano una preparazione matematica un po' approssimativa.
Però, come dice obnoxiuos, vediamo se c'è un esempio. D'altra parte sono definizioni, se ci si mette d'accordo su una convenzione perché no.
@Tommik Eh sì, è comprensibile che per semplificare in statistica possano usare max invece di sup. Per chi ha studiato matematica suona strano, ma è pur vero che in altre facoltà il concetto di sup non lo conoscono.
E che , io ho mai visto il sup a economia?
Ripeto, non perché siano più cretini dei matematici, ma le cose da sapere sono tante e non si può fare tutto.
D'altra parte è una definizione da primo anno di analisi.
Ma è possibile che qualche economista de' noantri si confonda tra bacinelle e dossi.
Guarda che è una mia cattiveria, non avendo esempi concreti, ma mi viene il sospetto.
Non è che gli economisti siano scemi o impreparati, per carità. Ma è possibile che abbiano una preparazione matematica un po' approssimativa.
Però, come dice obnoxiuos, vediamo se c'è un esempio. D'altra parte sono definizioni, se ci si mette d'accordo su una convenzione perché no.
@Tommik Eh sì, è comprensibile che per semplificare in statistica possano usare max invece di sup. Per chi ha studiato matematica suona strano, ma è pur vero che in altre facoltà il concetto di sup non lo conoscono.
E che , io ho mai visto il sup a economia?
Ripeto, non perché siano più cretini dei matematici, ma le cose da sapere sono tante e non si può fare tutto.
"gabriella127":
E che , io ho mai visto il sup a economia?
Ripeto, non perché siano più cretini dei matematici
sono diplomato come Ragioniere e perito commerciale poi laurea in Economia e Commercio (vecchio ordinamento) indirizzo Economico Quantitativo (Alma Ticinensis Universitas)
No, più cretini no però con una preparazione lacunosa in matematica sì. Quando ho fatto la tesi (di ricerca) ho passato qualche mese alla facoltà di matematica a studiare algebra e questo solo per iniziare a capire i testi di base che mi servivano.
Sì, Tommik, è proprio così, lacunosa e soprattutto confusa e carente dal punto di vista del metodo matematico, al di là dei contenuti.
Fanno alle volte cose avanzatissime in modo meccanico (ad esempio usano qualche versione del principio del massimo di Pontrjagin) credendo che siano cose base e ignorano cose base, che so, fanno le successioni e ignorano che esiste il teorema di Bolzano-Weierstrass. Usano in modo meccanico il teorema della funzione implicita, ma non sanno dell'esistenza del teorema della funzione inversa, ne' sanno granché delle funzioni in più variabili.
Io quando ho fatto un corso di equazioni differenziali a matematica sono rimasta sbalordita da come me le avevano fatte fare a economia, volevo prendere a schiaffi qualche economista.
Fanno alle volte cose avanzatissime in modo meccanico (ad esempio usano qualche versione del principio del massimo di Pontrjagin) credendo che siano cose base e ignorano cose base, che so, fanno le successioni e ignorano che esiste il teorema di Bolzano-Weierstrass. Usano in modo meccanico il teorema della funzione implicita, ma non sanno dell'esistenza del teorema della funzione inversa, ne' sanno granché delle funzioni in più variabili.
Io quando ho fatto un corso di equazioni differenziali a matematica sono rimasta sbalordita da come me le avevano fatte fare a economia, volevo prendere a schiaffi qualche economista.
Si, la cosa del max e sup nello stimatore ML l'ho incontrata quando studiavo statistica, io lì ore e ore a cercare di capire da dove sbucasse la condizione di esistenza del massimo 
.
Comunque la parte cruciale della mia domanda era se abbiamo fatto una definizione casuale delle due possibili interpretazioni che si potevano dare di convessità, oppure se aveva un qualche senso considerare l'epigrafo piuttosto che la regione sottostante. Ieri riflettendoci sono giunto ad una conclusione che prossimamente quando trovo un attimo posterò
.Comunque la parte cruciale della mia domanda era se abbiamo fatto una definizione casuale delle due possibili interpretazioni che si potevano dare di convessità, oppure se aveva un qualche senso considerare l'epigrafo piuttosto che la regione sottostante. Ieri riflettendoci sono giunto ad una conclusione che prossimamente quando trovo un attimo posterò
Aspettiamo le tue conclusioni, materia, sono curiosa.
Secondo me sono solo convenzioni, la definizione 'ufficiale' (non quella degli economisti) guarda l'epigrafico, ed è abbastanza naturale definire convesso un insieme in cui dati due punti il segmento che li congiunge sta tutto dentro l'insieme e parapà parapà, è un insieme che non ha 'rientranze'. Ma se lo vuoi chiamare 'concavo' vabbe', de gustibus.
Non vuoi guarda' l'epigrafico, ma il sottografico? E vabbe', ce ne facciamo una ragione, basta intendersi.
Detto questo, non è che si può cambiare la convenzione a vanvera, oggi sì, domani no. Bisogna sapere qual è la convenzione 'ufficiale'.
Continuo ad aver il timore che qualche economista pensi: 'Concavo? Be', vor dì che quanno ce piove ce resta l'acqua dentro, se ciò una parabola colla capoccia sotto ce resta l'acqua dentro, se invece cià la capoccia sopra è come un montarozzo, nun ce resta l'acqua'.
(Scusate la scarsa stima matematica per gli economisti (alcuni), io sono economista e me lo posso permettere... Non è scarsa stima in generale, assolutamente, fanno un mestiere difficilissimo. E comunque scherzo, poiché conosco entrambi gli ambienti, economia e matematica)
Secondo me sono solo convenzioni, la definizione 'ufficiale' (non quella degli economisti) guarda l'epigrafico, ed è abbastanza naturale definire convesso un insieme in cui dati due punti il segmento che li congiunge sta tutto dentro l'insieme e parapà parapà, è un insieme che non ha 'rientranze'. Ma se lo vuoi chiamare 'concavo' vabbe', de gustibus.
Non vuoi guarda' l'epigrafico, ma il sottografico? E vabbe', ce ne facciamo una ragione, basta intendersi.
Detto questo, non è che si può cambiare la convenzione a vanvera, oggi sì, domani no. Bisogna sapere qual è la convenzione 'ufficiale'.
Continuo ad aver il timore che qualche economista pensi: 'Concavo? Be', vor dì che quanno ce piove ce resta l'acqua dentro, se ciò una parabola colla capoccia sotto ce resta l'acqua dentro, se invece cià la capoccia sopra è come un montarozzo, nun ce resta l'acqua'.
(Scusate la scarsa stima matematica per gli economisti (alcuni), io sono economista e me lo posso permettere... Non è scarsa stima in generale, assolutamente, fanno un mestiere difficilissimo. E comunque scherzo, poiché conosco entrambi gli ambienti, economia e matematica)
Come è noto i matematici, che sono introversi, timidi, minimizzano. Al contrario, gli economisti, che son dei tromboni per giunta estroversi, massimizzano.
epi f piace ai minimizzatori matematici "perché" è chiuso (f s.c.i.) e, che bello, è anche convesso (un convesso è un oggetto carino, le cose concave le lasciamo ad altri mestieri)
Se poi epi f non è chiuso o convesso, ci si arrangia, ma che vitaccia, mannaggia
[size=85]PS: sono solo un matematico, ma ho a lungo vissuto-con economisti tra i quali ho cari amici e stimati colleghi. Non vorrei che se la prendessero[/size]
epi f piace ai minimizzatori matematici "perché" è chiuso (f s.c.i.) e, che bello, è anche convesso (un convesso è un oggetto carino, le cose concave le lasciamo ad altri mestieri)
Se poi epi f non è chiuso o convesso, ci si arrangia, ma che vitaccia, mannaggia
[size=85]PS: sono solo un matematico, ma ho a lungo vissuto-con economisti tra i quali ho cari amici e stimati colleghi. Non vorrei che se la prendessero[/size]
Neanche io, ma visto che, come dicono materia e Tommik, alcuni definiscono concave le funzioni che in matematica sono convesse, può darsi che qualcuno del genere in circolazione ci sia...
(E comunque una certa grossolanità matematica da parte di economisti l'ho vista... Un esempio: in economia chiamano 'curve' i grafici delle funzioni o proprio le funzioni di domanda e offerta e dicono: 'una curva è il luogo dei punti del piano che soddisfa etc.etc., sono convinti che in matematica la curva sia quello, e ignorano completamente che esiste una cosa chiamata curva in matematica che è tutt'altra cosa.)
(E comunque una certa grossolanità matematica da parte di economisti l'ho vista... Un esempio: in economia chiamano 'curve' i grafici delle funzioni o proprio le funzioni di domanda e offerta e dicono: 'una curva è il luogo dei punti del piano che soddisfa etc.etc., sono convinti che in matematica la curva sia quello, e ignorano completamente che esiste una cosa chiamata curva in matematica che è tutt'altra cosa.)
Mi ero messo a scrivere la mia congettura e prima di postarla mi son reso conto che fosse infondata 
tuttavia non mi do perso, continuerò a rifletterci!
tuttavia non mi do perso, continuerò a rifletterci!
Finalmente sono riuscito (forse!) a ricordarmi il nome di un autore di libro di testo per le secondarie che dava una definizione "rovesciata" di convessità/concavità: Scaglianti.
Non mi fido troppo della mia memoria, sottolineo il "forse". Quello di cui sono certo è che c'era un manuale piuttosto diffuso che effettuava questo rovesciamento
Non mi fido troppo della mia memoria, sottolineo il "forse". Quello di cui sono certo è che c'era un manuale piuttosto diffuso che effettuava questo rovesciamento
Detesto con fermezza le convenzioni perche' alla fine sono solo fonte di confusione, come appunto in questi casi e sono l'opposto dello spirito della matematica.
Per i poligoni o i solidi la definizione non e' ambigua perche' un poligono e' concavo quando presenta la conca. come si intende nel linguaggio comune. Idem per i solidi, anzi in questo caso e' ancora piu' intuitivo.
Concavo puo' derivare da conca ma anche da "con cava", dove la cava e' la miniera (cava di marmo) dal verbo cavare (togliere), da cui anche in inglese "cave" e' una caverna o rientranza.
Una funzione di una variabile non ha un dentro e un fuori, un sopra e un sotto. Tutto questo deriva dalla cattiva abitudine (secondo me) di rappresentare le funzioni con i loro grafici, col risultato che poi alcuni non sono capaci di capire che funzione e grafico sono cose diverse e per tutti in generale sono due oggetti confondibili.
Per i poligoni o i solidi la definizione non e' ambigua perche' un poligono e' concavo quando presenta la conca. come si intende nel linguaggio comune. Idem per i solidi, anzi in questo caso e' ancora piu' intuitivo.
Concavo puo' derivare da conca ma anche da "con cava", dove la cava e' la miniera (cava di marmo) dal verbo cavare (togliere), da cui anche in inglese "cave" e' una caverna o rientranza.
Una funzione di una variabile non ha un dentro e un fuori, un sopra e un sotto. Tutto questo deriva dalla cattiva abitudine (secondo me) di rappresentare le funzioni con i loro grafici, col risultato che poi alcuni non sono capaci di capire che funzione e grafico sono cose diverse e per tutti in generale sono due oggetti confondibili.
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